Enunciado

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Uma partícula de 3 , 00   kg com uma velocidade de v → = 5 m / s i → - 6 m / s j → está passando pelo ponto x = 3   m ,   y = 8   m . A partícula é puxada por uma força de 7   N no sentido negativo do eixo x . Quais são , em relação à origem,

( a ) o momento angular da partícula

( b ) o torque que age sobre a partícula e

( c ) a taxa com a qual o momento angular está variando?

Passo 1

Falaa galerinha sagaz, tudo jóinha? Bora praticar um pouco? Vem aqui comigo!!

O problema pede o momento angular da partícula. Lembrando que a definição do momendo angular é dada por:

L → = m r → × v →

E dado uma posição r → = x ,   y ,   z e uma velocidade v → = v x ,   v y ,   v z , temos que essa momento angular pode ser escrito com o produto vetorial r → × v → aberto, de maneira que:

L → = m i → j → k → x y z v x v y v z

Onde a matriz i → j → k → x y z v x v y v z representa o produto vetorial r → × v → .

Em relação à origem os vetores posição e velocidade são: r → = ( 3 ,   8 ,   0 ) e v → = ( 5 , - 6 ,   0 ) . Então podemos substituir nas componentes correspondentes ali em cima, de forma que:

L → = 3 . i → j → k → 3 8 0 5 - 6 0

L → = 3 . [ 0 + 0 i → + 0 + 0 j → + - 18 - 40 k → ]

L → = - 174   k →   J.s

Passo 2

Agora o probleme pergunta o torque. Vamos lembrar como se calcula? Da definição como:

τ → = r → × F →

Assim, também podemos montar um produto vetorial com as componentes dos vetores que o enunciado dá, já que a força é:

F → = - 7 ,   0 ,   0

Logo:

τ → = i → j → k → 3 8 0 - 7 0 0

τ → = i → 0 + 0 + j → 0 + 0 + k → + 56

τ → = 56 k →

Assim o torque vai ser:

τ → = 56   k →   N.m

Passo 3

Show!

Agora vamos relacionar o torque resultante com o momento angular. Da segunda lei de Newton temos que o torque é igual a derivda do momento angular em relação ao tempo, tal que:

τ → r e s = d L → d t

E é justamente o que o problema pede e o τ → acabamos de determinas ali no passo anterior!

Assim temos:

d L → d t = 56   k →   N.m

Bora treinar mais?

Resposta

  1. L → = - 174   k →   J.s
  2. 56   k →   N.m
  3. 56   k →   N.m

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