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O invólucro e a cesta de um balão de ar quente têm um peso total de 2,454   k N e o invólucro tem uma capacidade (volume) de 2,18.10 3   m 3 . Qual deve ser a temperatura do ar no interior do invólucro, quando este está totalmente inflado, para que o balão tenha uma capacidade de levantamento (força) de 2,67   k N (além do peso do balão)? Suponha que o ar ambiente, a 20,0 ° C , tem um peso específico de 11,9   N / m 3 , uma massa molecular de 0,028   k g / m o l e está a uma pressão de 1,0   a t m .

Passo 1

Feshwo de bola galerinha, antes de tudo vamos entender quais são essas forças aí. Quem ajuda o balão a subir é o empuxo, certo?

F S = E = ρ f o r a V g

Onde ρ f o r a é a massa específica do ar fora do balão.

E as forças que fazem o balão descer são: o peso do ar dentro do balão ( P a r ) e o peso da cesta e do invólucro ( P C ):

F D = P a r , d e n t r o + P C

F D = ρ d e n t r o V g + 2,454 × 10 3

Então a força resultante é:

F R = F S - F D

F R = ρ f o r a V g - ρ d e n t r o V g - 2,454 × 10 3

Passo 2

Vamos ver o que mais já conhecemos nessa equação. Começando pela própria força resultante:

F R = ρ f o r a V g - ρ d e n t r o V g - 2,454 × 10 3

2,67 × 10 3 + 2,454 × 10 3 = ρ f o r a V g - ρ d e n t r o V g

Vamos isolar as grandezas que não conhecemos:

ρ d e n t r o V g = ( ρ f o r a V g ) - 5,124 × 10 3

ρ d e n t r o g = ρ f o r a g V - 5,124 × 10 3 V

E o peso específico que o enunciado deu para o ar de fora do balão é exatamente esse produto ( ρ f o r a g ) , então vamos substituir o que faltou aí:

ρ d e n t r o g = 11,9 2,18 × 10 3 - 5,124 × 10 3 2,18 × 10 3

ρ d e n t r o g = 9,55   N/m³

Logo:

ρ d e n t r o = 9,55 9,8

ρ d e n t r o = 0,974   kg/ m 3

Passo 3

Então, nosso objetivo final é achar qual temperatura gera essa situação:

ρ d e n t r o g = 9,55   N/ m 3

Então vamos procurar essa grandeza aí na lei dos gases ideais:

p V = n R T

O ρ d e n t r o (massa específica do ar), é simplesmente a massa do ar dividida pelo volume:

p R T = n V

Agora é só multiplicar os dois lados pela massa molar:

p M R T = n M V

Pronto, esse n M é a massa total do gás dentro de balão! E essa razão é exatamente o ρ d e n t r o .

p M R T = n M V = ρ d e n t r o

E a temperatura que procurarmos vai seguir essa fórmula aqui:

T = p M R ρ d e n t r o

Passo 4

Agora é só substituir os valores, a massa molar do ar já foi dada no enunciado: o ar no exterior do balão é o mesmo que no interior, só que um está frio e o outro está quente, o que não muda a massa molar.

M = 0,028   kg/mol

A pressão também é a mesma dentro e fora do balão. Claro, se não ele iria acabar estourando:

p = 1,01 × 10 5   Pa

Agora sim:

T = p M R ρ d e n t r o

T = 1,01 × 10 5 0,028 8,31 0,974

T = 349,397   K

Logo:

T ≅ 349   K

Resposta

A temperatura deve ser T = 349   K .

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