Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler - Capítulo 6.1 - Ex. 20

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A massa do Ônibus Espacial orbital é cerca de 8 × 10 4   k g e o período de sua órbita é 90 min. Estime a energia cinética da nave e o trabalho realizado pela gravidade sobre ela entre o lançamento e a entrada em órbita. (Apesar de a força da gravidade diminuir com a altitude, este efeito é pequeno para órbitas baixas. Use este fato para fazer a aproximação necessária; você não precisa calcular uma integral.) As órbitas são cerca de 250 milhas acima da superfície da Terra.

Passo 1

Olá! Tudo bem? Então, temos aqui um ônibus espacial na Terra. Depois ele é lançado no espaço e fica em uma orbita que dista 250   m i l h a s   da superfície da Terra.

Aí o que o enunciado pede é a energia cinética da nave e o trabalho realizado pela gravidade sobre ela.

Cara, uma dica para você: falou de trabalho e de energia cinética no mesmo contexto, você lembra logo do teorema trabalho-energia!

Olha a expressão dele:

W t o t a l = Δ E c

W t o t a l = E c f - E c i

Isso diz que o trabalho total feito em uma partícula é igual à variação de energia cinética. Para o nosso caso, a partícula é a nave. O momento inicial é quando a nave está na Terra se preparando para lançar. E o momento final é quando ela está em órbita. Escrevendo isso:

W t o t a l = E c , ó r b i t a - E c , l a n ç a m e n t o

A energia cinética da nave é proporcional a velocidade dela. Como no lançamento, o ônibus está parado, ou seja, v l a n ç a m e n t o = 0 , temos que E c , l a n ç a m e n t o = 0 , então

W t o t a l = E c , ó r b i t a

Passo 2

Essa energia cinética da nave em órbita pode ser calculada pela expressão da energia cinética:

E c , ó r b i t a = 1 2 m v 2

Só que a velocidade do ônibus, como está em um movimento circular, vai ser dada pela fórmulinha:

v = 2 π r T

Nessa equação, r é o raio da órbita, que é a distância da nave ao centro da Terra, logo ele vai ser a soma da distância da nave a superfície da Terra mais o raio da Terra:

r = d + R T

E T é o período da órbita. Temos então:

v = 2 π d + R T T

Agora podemos pegar essa v e jogar na equação da energia:

E c , ó r b i t a = 1 2 m v 2

E c , ó r b i t a = 1 2 m 2 π d + R T T 2 = 2 π 2 m d + R T 2 T 2

Passo 3

Agora a gente joga os valores:

E c , ó r b i t a = 2 π 2 8 × 10 4   k g 250   m i + 3960   m i ∙ 1,609 × 10 3 m m i 2 90   m i n × 60   s m i n 2

Percebe que a gente passou o período para segundos e as distâncias para metros. Isso dá o resultado em Joules:

E c , ó r b i t a ≈ 2 × 10 12 J

Passo 4

E a gente viu que

W t o t a l = E c , ó r b i t a

Então:

W t o t a l = 2 × 10 12 J

Esse é o trabalho realizado no sentido do movimento. Ou seja, saindo da Terra.

Mas lembra que ele pede o trabalho realizado pela gravidade. A gravidade age no sentido de puxar as coisas para dentro da Terra. Então ela age no sentido contrário ao sentido do movimento.

Como a força gravitacional é a única atuando externamente a nave (a outra força atuando é a força que a própria nave produz para subir), temos que o trabalho total da gravidade sobre a nave vai ser igual ao trabalho que achamos antes, só que negativo:

W = - 2 × 10 12 J

Negativo porque a força gravitacional é contrária ao movimento da nave.

Resposta

W = - 2 × 10 12 J

E c = 2 × 10 12 J

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