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Uma merendeira de 2,0   k g escorrega em uma superfície sem atrito no sentido positivo de um eixo x . A partir do instante t = 0 , um vento constante aplica uma força à merendeira no sentido negativo do eixo x . A Fig. 7-49 mostra a posição x da merendeira em função do tempo t . A partir do gráfico, estime a energia cinética da merendeira (a) em t = 1,0   s e (b) em t = 5,0   s . (c) Qual é o trabalho realizado pelo vento sobre a merendeira entre t = 1,0   s e t = 5,0   s ?

Passo 1

O enunciado nos diz que a força que atua sobre a merendeira é constante, logo, já podemos afirmar que a aceleração da merendeira é constante, por isso, este é um MRUV. Lembrando que a função horária da posição é:

x t = x 0 + v 0 t + a t 2 2

Passo 2

Agora, para determinar as variáveis e estruturar nossa expressão, vamos usar pontos do gráfico. De cara, podemos perceber que a função começa na origem, logo x 0 = 0 .

Usando o ponto ( 4,5 ; 2,5 ) :

2,5 = 4,5 v 0 + 4,5 2 a 2

E ( 1,5 ; 1,25 ) :

1,25 = 1,5 v 0 + 1,5 2 a 2

Isolando o v 0 na primeira expressão:

v 0 = 2,5 - 4,5 2 a 2 4,5 = 2,5 4,5 - 4,5 a 2       e q . 1

E substituindo na segunda expressão:

1,25 = 1,5 2,5 4,5 - 4,5 a 2 + 1,5 2 a 2

1,25 = 0,83 - 3,38 a + 1,13 a

Isolando a :

a = - 0,42 2,25 = - 0,187   m / s 2

Passo 3

Com o valor da aceleração em mãos, podemos determinar o módulo da força resultante do vento através da segunda lei de Newton:

F = m a = 2 × - 0,187 = - 0,374   N

Passo 4

Como o enunciado pede a energia cinética em t = 1   s e vamos usar o teorema trabalho-energia cinética para determinar o valor da energia, então devemos primeiro determinar o trabalho da força do vento. Para tanto, devemos perceber que por ser uma força constante, podemos usar a seguinte relação para determinar o trabalho:

W = F   d cos ⁡ ϕ

O deslocamento total no instante t = 1   s pode ser estimado pelo gráfico em x ≅ 0,9   m . Sabendo também, como dito no enunciado, que a força age no sentindo contrário ao deslocamento e, portanto, ϕ = 180 ° , então:

W 1 = 0,374 × 0,9 × cos ⁡ 180 ° = - 0,337   J

Passo 5

Para usarmos o teorema trabalho-energia cinética, devemos perceber que ele não falou nada sobre a velocidade inicial da merendeira. Porém, para determinar a aceleração escrevemos a e q . 1 que é uma expressão que relaciona a velocidade inicial com a aceleração, como já calculamos a aceleração, então podemos determinar a velocidade inicial:

v 0 = 2,5 4,5 - 4,5 - 0,187 2 = 0,976   m / s

Passo 6

Por fim, usando o teorema trabalho-energia cinética:

m v f 2 2 - m v 0 2 2 = W 1

K f 1 - 2 × 0,976 2 2 = - 0,337

Isolando K f 1 :

K f 1 = 0,976 2 - 0,337 = 0,615   J

Passo 7

Agora, vamos calcular o trabalho novamente, porém até o instante t = 5   s . Pelo gráfico podemos estimar que x 5 = 2,55   m . Assim usando a expressão do trabalho já enunciado anteriormente:

W 5 = 0,374 × 2,55 × cos ⁡ 180 ° = - 0,954   J

Passo 8

Aplicando novamente o teorema trabalho-energia cinética:

K f 5 = W 5 + K 0

K f 5 = - 0,954 + 0,976 2 ≅ 0

Passo 9

Por fim, para determinar o trabalho da força do vento entre os instantes t = 1   s e t = 5   s , podemos aplicar novamente o teorema trabalho-energia cinética tendo em vista que já calculamos K f 1 e K f 5 . Então:

K f 5 - K f 1 = W 1 → 5

0 - 0,615 = W 1 → 5

W 1 → 5 = - 0,615   J

Resposta

  1. K f 1 = 0,615   J ;
  2. K f 5 = 0 ;
  3. W 1 → 5 = - 0,615   J .

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