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A partícula a , de massa m , está inicialmente posicionada no eixo x positivo, em x = x 0 , e sujeita a uma força repulsiva F x , exercida pela particula b . A posição da partícula b está fixa, na origem. A força é inversamente proporcional ao quadrado da distância x entre as partículas, isto é, F x = A / x 2 , onde A é uma constante positiva. A partícula a é largada do repouso e fica livre para se mover sob a influência da força, Encontre uma expressão para o trabalho realizado pela força sobre a , como função de x . Encontre a energia cinética e a rapidez de a no limite em que x tende a infinito.

Passo 1

Falaaa! Então ele está dizendo que a partícula a sofre uma força que vem de b , que empurra a para longe de b . b está na origem e a está na parte positiva de x , em x 0 :

A gente quer o trabalho realizado por F x em função de x se a estiver livre para ser movida.

Como a força não é constante, vamos ter que recorrer às nossas amigas integrais. A fórmula do trabalho usando integrais é:

W = ∫ x 0 x 1 F x d x

Sendo que F x é uma força na direção x , x 0 é a posição inicial da partícula e x 1 é a posição final. Substituindo nossos dados:

W = ∫ x 0 x A x 2 d x

Percebe que a gente fez x 1 = x . É como se a posição final da partícula fosse uma posição genérica x . A gente faz isso para achar o trabalho em função de x como ele pede.

Passo 2

Agora é calcular essa belezinha. Retirando o que é constante da integral:

W = ∫ x 0 x A x 2 d x

W = A ∫ x 0 x 1 x 2 d x = A ∫ x 0 x x - 2 d x

Usando a regrinha de integrar polinômios:

W = A x - 1 - 1 x 0 x = A - 1 x x 0 x

W = A x 0 - A x

Passo 3

Queremos agora a energia cinética e a rapidez da partícula quando x → ∞ .

Cara, falou de trabalho energia cinética no mesmo contexto, cê pensa logo no teorema do trabalho-energia cinética. Olha a expressão dele:

W t o t a l = Δ E c

W t o t a l = E c , f i n a l - E c , i n i c i a l

Isso diz que o trabalho total feito em uma partícula é igual à variação de energia cinética.

A energia cinética inicial é nula, pois a partícula parte do repouso:

W t o t a l = E c , f i n a l - 0

W t o t a l = E c , f i n a l

Sobre a partícula só atua F x , então o trabalho total sobre ela é o que a gente calculou no passo anterior. Substituindo aqui:

E c , f i n a l = A x 0 - A x

Essa na verdade é a expressão da energia cinética no nosso ponto final genérico x . Então vamos só mudar a notação para ficar fofo:

E x = A x 0 - A x

Passo 4

Mas quermos a energia cinética quando x → ∞ . Então vamos calcular esse limite:

E x → ∞ = lim x → ∞ ⁡ E x = lim x → ∞ ⁡ A x 0 - A x

E x → ∞ = A x 0 - A ∞

E x → ∞ = A x 0 - 0

E x → ∞ = A x 0

Passo 5

Como a energia cinética é dada por

E = 1 2 m v 2

E quando x → ∞ , temos v = v x → ∞ :

E x → ∞ = 1 2 m v x → ∞ 2

Podemos substituir isso em E x → ∞ do passo anterior para achar v x → ∞ :

1 2 m v x → ∞ 2 = A x 0

Isolando o v x → ∞ :

v x → ∞ = 2 ( A x 0 ) m

v x → ∞ = 2 A m x 0

Resposta

W = A x 0 - A x

E x → ∞ = A x 0

v x → ∞ = 2 A m x 0

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