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Uma partícula P se move com velocidade escalar constante sobre uma circunferência de raio r   =   3,00   m (Fig. 4 56) e completa uma revolução a cada 20,0   s . A partícula passa pelo ponto O no instante t   = 0 . Os vetores pedidos a seguir devem ser expressos na notação módulo ângulo (ângulo em relação ao sentido positivo de x ). Determine o vetor posição da partícula, em relação a O , nos instantes (a) t   =   5,00   s , (b) t   =   7,50   s e (c) t   =   10,0   s . (d) Determine o deslocamento da partícula no intervalo de 5,00   s entre o fim do quinto segundo e o fim do décimo segundo. Para esse mesmo intervalo, determine (e) a velocidade média e a velocidade (f) no início e (g) no fim do intervalo. Finalmente, determine a aceleração (h) no início e (i) no fim do intervalo.

Passo 1

Então pessoal , a primeira coisa que devemos fazer é escrever os vetores na forma módulo-ângulo ( R   ∠   θ ). Como de costume os ângulos   θ são medidos no sentido antihorário a partir do semieixo   x positivo, mas vamos ocasionalmente nos referir a ângulos que são medidos no sentido anti-horário a partir do semieixo   y negativo.Sabemos que a velocidade da partícula é dada por :

v   =   2 π r / T

em que   r   =   3,00   m e T   =   20,0   s , dessa forma :

v   =   0,942   m / s

De acordo com a Fig. 4-56, a partícula está se movendo no sentido anti-horário.

Passo 2

Sabemos que no instante t   =   5,0   s , a partícula percorreu uma fração :

t T = 5,0 s 20,0 s = 1 4

de uma revolução completa (começando no ponto O da figura, ou seja, no semieixo y negativo). Assim, o ângulo descrito pela partícula em relação ao semieixo y negativo pode ser calculado simplesmente pela relação :

∅ = 1 4 * 360 ° = 90 °

Como se pode ver na figura, as coordenadas desse ponto são x   =   3,0   m e y   =   3,0   m no sistema de coordenadas da figura. Na notação módulo-ângulo, o vetor posição desse ponto é R   ∠   θ = ( 4,2   ∠   45 ° ) . Embora essa posição seja fácil de analisar sem recorrer a relações trigonométricas , é uma boa notar que esses valores das coordenadas x e y podem ser obtidos a partir do ângulo usando as relações :

x = r * sen ⁡ ∅     ,   y = r - r * cos ⁡ ∅

Tranquilo até aqui ?

Naturalmente, os valores do módulo e do ângulo foram obtidos usando as equações R = x 2 + y 2   e θ   = tan – 1 ⁡ ( y x )   .

Passo 3

De forma análoga ao item anterior , no instante t   =   7,5   s , a partícula percorreu uma fração 7,5 20 = 3 8 de revolução. O ângulo descrito pela partícula , por sua vez , é ∅ = 3 8 360 ° =   135 °   . As coordenadas desse ponto são: x   = 3,0   m sen ⁡ 135 °   =   2,1   m   e   y   =   ( 3,0   m )   –   ( 3,0   m )   c o s   135 °   =   5,1   m ; o vetor posição do ponto é ( 5,5   ∠   68 ° ) .

Passo 4

Nós sabemos também que no instante t   =   10,0   s , a partícula percorreu uma fração 10 / 20   =   1 / 2 de revolução. O ângulo descrito pela partícula é ∅   = 1 2 360 ° = 180 ° . As coordenadas desse ponto são x   =   0 e y   =   6,0   m ; o vetor posição do ponto é 6,0   ∠   90 °   .

Passo 5

Subtraímos o vetor posição obtido no item (a) do vetor posição obtido no item (c):

6,0   ∠   90 °   -   4,2   ∠   45 °   =   4,2   ∠   135 °

usando a notação módulo-ângulo. Na notação dos vetores unitários, teríamos :

∆ R → = 0 - 3,0 m i → + 6,0 m - 3,0 m j → = - 3,0 m i → + 3,0 m   j →

O que levaria ao mesmo resultado, ∆ R → =   4,2   m e θ   =   135 °

Passo 6

Nós sabemos que a velocidade média é dada por v → m é d = ∆ R → ∆ t .Logo , para ∆ t = 5,0   s , temos:

v → m é d = - 0,6 m s i → + 0,6 m s j →

na notação dos vetores unitários ou ( 0,85   ∠   135 ° ) na notação módulo-ângulo.

Passo 7

Bom pessoal , o módulo da velocidade da partícula já foi calculado ( v   =   0,94   m / s ); para conhecer a direção podemos analisar a figura do enunciado . Como o vetor velocidade é tangente à circunferência na posição de “3 horas” , isso significa que v → é vertical. Assim, a resposta é ( 0,94   ∠   90 ° ).

Passo 8

Mais uma vez, o módulo da velocidade é conhecido ( v   =   0,94   m / s ) e a direção pode ser determinada observando x = r * sen ⁡ ∅   ,   y = r * cos ⁡ ∅   . O vetor velocidade é tangente à circunferência na posição de “12 horas” , o que significa que v → é horizontal. Assim, a resposta é ( 0,94   ∠   180 ° ).

Passo 9

A aceleração tem módulo a   =   v 2 / r   =   0,30   m / s 2 , e no instante inicial é horizontal (na direção do centro da circunferência). Assim, a resposta é ( 0,30   ∠   180 ° ).

Passo 10

Mais uma vez, temos que :

a   =   v 2 / r   =   0,30   m / s 2

mas nesse instante a aceleração é vertical (na direção do centro da circunferência). Assim, a resposta é ( 0,30   ∠   270 ° ).

Tranquilo pessoal ?? Bora resolver mais questões então!!!!

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