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Física - Randall D. Knight, Física: Uma Abordagem Estratégica - Vol 1 - Capítulo 4.Exercícios e Problemas - Ex. 42

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desse livro

Um projétil é disparado com velocidade inicial de 30 m/s em um ângulo de 60° acima da horizontal. O projétil atinge o solo 7,5 s mais tarde.

a. A que altura acima ou abaixo do ponto de lançamento o projetil atinge o solo?

b. A que altura máxima acima do ponto de lançamento o projétil se eleva?

c. Qual é o módulo e a orientação da velocidade do projetil no instante em que ele atinge o solo?

Passo 1

Vamos pegar os dados e fazer um esqueminha para começar o problema

v 0 = 30   m / s

θ = 60 °

t = 7,5   s

Lembrando que o movimento é uma parábola! Em (a) ele pede a diferença de altura h a do ponto inicial, em (b) pede a altura máxima, então vamos descobrir h b e somar com h a ! E por último o vetor quando está prestes a chegar no chão! Vamos lá!

Passo 2

  1. A velocidade pode ser interpretada em relação ao eixo y e em relação ao eixo x! Assim, se ampliarmos o vetor velocidade, ele faz um triângulo. Então em relação ao eixo x
  2. v 0 x = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a   v 0 = cos ⁡ θ   v 0

    Com o mesmo raciocínio podemos supor que

    v 0 y = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a v 0 = s e n   θ v 0

    Primeiro queremos descobri qual é o   h a que é Δ S = S - S 0 , então, consideremos o movimento vertical

    S = S 0 + v 0 t - g t 2 2 → h a = + 30 .   s e n 60 ° .   7,5 - 9,8 .   7,5 2 2 = - 80,8   m

    Mas porque é negativo? Estamos considerando que o eixo y para cima é positivo. Logo a interpretação é que o projétil está a 80,8 m abaixo de onde foi lançado!

    Passo 3

  3. Para descobrir a altura máxima usaremos a seguinte fórmula:
  4. v 2 = v 0 2 - 2 g Δ S

    0 2 = 30   s e n   θ 2 - 2   .   9,8 .   S - S 0

    0 = 30 3 2 2 - 2   .   9,8 .   S - 0

    0 = 15 3 2 - 19,6   S

    675 = 19,6   S

    S = 34,4   m

    Em relação ao ponto inicial a altura é de 34,4 m. Mas se considerarmos em relação ao solo temos

    34,4 + 80,8 = 115,2   m

    A altura máxima é de 115,2 m!

    Passo 4

  5. Para saber o módulo das velocidades e para saber o ângulo, temos que descobrir os valores dos componentes x e y.

Em x, o movimento é retilíneo e uniforme, então, o vetor velocidade de x é constante em todo o trajeto, ou seja, o vetor velocidade inicial é igual ao final! Colocando na formulazinha:

v x = v 0 x   c o s θ → v = 30 . cos ⁡ 60 ° → v = 30 . 1 2   → v x = 15   m / s

E em y, o movimento já muda um pouquinho, nesse caso, o movimento é uma queda livre, então usamos:

v y = v 0 y - g t → v = 30   .   s e n   60 ° - 9,8   .   7,5 → v = - 47,52

Daí pra descobri o módulo, colocamos dentro da raiz

v = 15 2 + - 47,52 2 = 50   m / s

Portanto o módulo da velocidade é de 50 m/s!

Passo 3

Continuando o item (c) e descobrir o ângulo, vamos voltar nesse esquema

E para descobrir o ângulo, vamos usar

θ = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = tan ⁡ θ

Mas como estamos trabalhando com os vetores velocidades, o cateto oposto representa nosso vetor y, e o cateto adjacente o vetor velocidade x, temos:

t g   θ = v y v x → θ = t g - 1 - 47,52 15 → θ = 73 °

Assim, sua posição é de 73° em relação ao chão.

Resposta

  1. h a = - 80,8   m
  2. h a + h b = 115,2
  3. v = 5 0   m / s e θ = 73 °

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