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Quais são (a) a componente x e (b) a componente y de um vetor a → do plano x y que faz um ângulo de 250 ° no sentido anti-horário com o semieixo x positivo e tem um módulo de 7,3   m ?

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bem, a questão quer as componentes de um vetor. Qual melhor forma de achar elas se não desenhar esse vetor primeiro? Sabemos que ele:

  • É um vetor ( a → ) do plano x y
  • Faz um ângulo de 250 ° no sentido anti-horário com o semieixo x positivo
  • Tem um módulo de 7,3   m

A terceira informação por enquanto não vamos precisar, mas com as duas primeiras, conseguimos desenhar:

Show de bola. Agora saca só o seguinte. Vamos chamar esse ângulo aqui de θ :

E vamos calcular esse cara! Como o ângulo abaixo é de 90 0 :

Temos que:

α + θ + 90 o = 360 0

250 0 + θ + 90 o = 360 0

θ = 20 o

Passo 2

Ta, beleza, mas como isso ajuda? Calma gafanhoto. Lembra dessa imagem?

Que tal projetar a ponta desse vetor nos eixos? Vamos ter:

O que nos permite destacar um triângulo muito bacana:

E ajeitando ele pra ficar mais fácil de visualizar as coisas:

E pronto! Temos tudo pra achar as componentes que queremos! Utilizando a definição do seno:

s e n θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = a x a  

Isolando a x :

a x = a ∙ s e n θ Substituindo os valores :

a x = 7,3 ∙ s e n 20 °

a x = 2,5   m

Seguindo o mesmo raciocínio, porém usando a definição de cosseno:

c o s θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = a y a

Isolando o a y :

a y = a ∙ c o s θ

a y = 7,3 ∙ c o s 20 °

a y = 6,9   m

Só lembra o seguinte galera, esses são os módulos das componentes, mas como o vetor a → está no terceiro quadrante, pra expressar os vetores a x → e a y → , devemos considerar a direção e sentido negativas dos vetores:

a x → = - 2,5 i ^

a y → = - 6,9 j ^

Resposta

  1. a x → = - 2,5 i ^
  2. a y → = - 6,9 j ^

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