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Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick - Capítulo 3.6 - Ex. 28

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São dados dois vetores:

â   =   ( 4,0   m ) i   -   ( 3,0   n 1 ) J  

b   =   ( 6.0   m ) 1   +   ( 8.0   m ) J .

Determine (a) o módulo e (b) o ângulo em relação a i de a . Determine (c) o módulo e (d) o ângulo de b . Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de a   +   b ; (g) o módulo e (h) o ângulo de b   - a ; (i) o módulo e U) o ângulo de ã   - b . (k) Determine o ângulo entre as direções de b - a e   a - b .

Passo 1

Começando a resolver o exercício, conseguimos ver que o módulo pedido em (a) pode ser descobrido facilmente ao notarmos que é um triângulo pitagórico (3,4,5), logo o a = 5 m .

Passo 2

Agora para encontrarmos o valor do ângulo em (b) usaremos a função inversa da tangente, pois possuímos os dois catetos de um triângulo retângulo, nunca esquecendo que dividimos o cateto oposto pelo adjacente.

θ = t a n - 1 - 3 4 ≅ - 37 °

Passo 3

Seguindo para (c), podemos observar mais um triângulo pitagórico, esse é o “6,8,10”. Logo concluímos que b = 10   m .

Passo 4

Resolvendo (d), usaremos o mesmo conceito usado no “Passo 2” para obtermos o ângulo.

θ = t a n - 1 8 6 ≅ 53 °

Passo 5

Agora em (e), para calcularmos o valor da adição desses dois vetores vamos primeiramente realizar a soma:

a → + b → = 4 + 6 m i ^ + - 3 + 8 m j ^ = 10   m i ^ + 5   m j ^

Calculando o módulo desse novo vetor chegamos em:

a → + b → = 10 ² + ( 5 ) ² ≅ 11 , 2   m

Passo 6

Em (f) usaremos o mesmo conceito da inversa da tangente novamente.

θ = t a n - 1 5 10 ≅ 26,6 °

Passo 7

Realizando a subtração proposta em (g) chegamos ao seguinte vetor:

b → - a → = 6 - 4 m i ^ + 8 - - 3 m j ^ = 2   m i ^ + 11 m j ^

A partir dele calculamos seu módulo sem problemas:

b → - a → = 2 ² + 11 ² ≅ 11 , 2   m

Dá o mesmo módulo do passo 5 :o

Passo 8

Repentido novamente o processo para encontrar o ângulo em (h):

θ = t a n - 1 2 11 = 10,3 °

Passo 9

Em (i) pede-se a subtração oposta à de (g), vamos lá então.

a → - b → = 4 - 6 m i + - 3 - 8 m j = - 2   m i ^ + - 11   m j ^

O módulo desse vetor terá o mesmo valor que o de (g) também, pois os valores elevados ao quadrado são necessariamente positivos, assim:

a → - b → ≅ - 2 2 + - 11 2 ≅ 11,2   m

Passo 10

O ângulo pedido em (j) será calculado mais uma vez da mesma maneira.

θ = t a n - 1 - 2 - 11 = t a n - 1 2 11 ≅ 10,3 °  

Só que esse vetor tem componentes no terceiro quadrante ( x e y negativos) então temos que soma 180 ° a esse resultado, assim

θ = 190,3 °

Passo 11

Para a finalíssima deste exercício, a alternativa (k) pede o ângulo entre os vetores das duas subtrações possíveis, se analisarmos b → - a → nos da um vetor no 3° Quadrante, enquanto a → - b → nos da um vetor no 1°, isso revela que o ângulo entre eles será de 180 ° . Ou se subtrarmos os dois vamos ter

190,3 ° - 10,3 ° = 180 °

Resposta

  1. a → = 5   m

(b) θ ≅ - 37 °

(c) b → = 10   m

(d) θ =   53 °

(e) a → + b → ≅ 11,2   m

(f) θ ≅   26,6 °

(g) b → - a → ≅ 11,2   m

(h) θ ≅ 10,3 °

(i) a → - b → ≅ 11,2   m

(j) θ ≅   190,3 °

(k) 180 °

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