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Um satélite de 50   k g completa uma volta em torno do planeta Cruton a cada 6,0   h . O módulo da força gravitacional que Cruton exerce sobre o satélite é 80   N . (a) Qual é o raio da órbita? (b) Qual é a energia cinética do satélite? (c) Qual é a massa do planeta Cruton?

Passo 1

A letra (a) pede o raio da órbita, e pra isso nos dá a massa do satélite em órbita, o período orbital e o módulo da força gravitacional.

Beleza, quando nos dão o módulo da força é uma sugestão muito forte de que deveríamos pensar na força centrípeta.

Como a força gravitacional de 80   N mantém o satélite em uma órbita circular, podemos escrever:

m v 2 r = 80

Passo 2

Agora podemos substituir a velocidade:

v = 2 π r T

m 2 π r T 2 r = 80

4 . π 2 r T 2 = 80 50 = 1,6

r = 1,6 T 2 4 π 2

Convertendo o período T para segundos T = 6 h = 21600 s

r = 1,6 21600 2 4 3,14 2 = 1,9.10 7   m

E essa é a resposta da letra (a).

Passo 3

A letra (b) quer a energia cinética do satélite. Vamos lembrar da fórmula:

K = m v 2 2

E vamos usar a mesma substituição de antes:

v = 2 π r T

v = 2 3,14 1,9.10 7   21600 = 5,5.10 3   m / s

E voltando à fórmula:

K = 50 5,5.10 3 2 2 = 7,6.10 8   J

Passo 4

A letra (c) quer a massa do planeta. Temos várias opções, mas vamos usar a 3ª lei de Kepler:

T 2 = 4 π 2 G M R 3

M = 4 π 2 R 3 G T 2 = 4 3,14 2 1,9.10 7 3 6,67.10 - 11 21600 2 = 8,7.10 24   k g

Resposta

(a) r =   1,9.10 7   m

(b) K = 7,6.10 8   J

(c) M = 8,7.10 24   k g

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