Enunciado

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Um sistema massa-mola linearmente amortecido oscila a 200   H z . A constante de tempo do sistema é 2,0   s . Em t = 0 , a amplitude de oscilação é 6,0   c m e a energia do sistema oscilante é 60   J . (a) Quais são as amplitudes de oscilação em t = 2,0   s e em t = 4,0   s ? (b) Quanta energia é dissipada no primeiro intervalo de 2 segundos e no segundo intervalo de 2 segundos?

Passo 1

(a) Vamos lembrar da expressão que relaciona a amplitude e o tempo:

A t = A 0 e - t 2 τ

E pelas informações do enunciado, sabemos que:

A 0 = 0,06   m

τ = 2,0   s

Então podemos calcular a amplitude em t = 2,0   s e t = 4,0   s :

A 2,0 = 0,06 e - 2,0 2 2,0 = 3,6   c m

A 4 , 0 = 0,06 e - 4 , 0 2 ( 2,0 ) = 2,2   c m

Passo 2

(b) Agora vamos nos lembrar da expressão que dá a energia mecânica em função do tempo:

E t = E 0 e - t / τ

E então podemos calcular a energia nos instantes t = 0 , t = 2,0   s e t = 4,0   s :

E 0 = E 0 e 0 = E 0

E 2 = E 0 e - 2 / 2 = E 0 e

E 4 = E 0 e - 4 2 = E 0 e 2

Usando essas informações, podemos calcular a variação de energia no primeiro intervalo de dois segundos:

Δ E 1 = E 2 - E 0 = E 0 1 e - 1

Δ E 1 = 60 1 e - 1 ≅ 38   J

E também a variação no segundo intervalo de dois segundos:

Δ E 2 = E 4 - E 2 = E 0   1 e 2 - 1 e

Δ E 2 = 60 1 e 2 - 1 e ≅ 14   J  

Resposta

(a) As amplitudes são A 2,0 = 3,6   c m e A 4,0 = 2,2   c m .

(b) São dissipados 38   J no primeiro intervalo e 14   J no segundo.

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