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O sistema de suspensão de um automóvel de 2000 k g “cede” 10 c m quando o chassis é colocado no lugar. Além disso, a amplitude das oscilações diminui de 50 % a cada ciclo. Estime o valor (a) da constante elástica k e (b) da constante de amortecimento b do sistema mola-amortecedor de uma das rodas, supondo que cada roda sustenta 500 k g .

Passo 1

Quando o chassis é colocado no lugar temos que a força elástica estará compensando a força peso assim

k x = m g

k = m g x

k = 500 k g 9.8 m / s 2 0,1   m = 4,9 × 10 4 N / m

Passo 2

A amplitude em um regime subcrítico decai da seguinte forma

A t = A 0 e - γ t / 2 = A 0 e - b t / 2 m

O decaimento da amplitude de 50 % durante um período de oscilação significa que

A 0 2 = A 0 e - b T / 2 m

e - b T / 2 m = 1 2

Tirando logaritmo natural dos dois lados

- b T 2 m = ln ⁡ 1 2 = - ln ⁡ 2

b T 2 m = ln ⁡ 2

b = 2 m ln ⁡ 2 T

Onde T é o período de oscilação, e é dado por

T = 2 π ω '

Assim,

b = 2 m ln ⁡ 2 2 π / ω ' = ω ' m ln ⁡ 2 π

Passo 3

Se a gente aproximar a frequência angular do sistema não amortecido para a frequência do sistema amortecido, a gente tem que

ω ' ≅ ω = k m    

ω ' = 49 0 00 N / m 500 k g ≅ 9,9 r a d / s

Logo,

b = ω ' m ln ⁡ 2 π = 9,9 × 500 × ln ⁡ 2 π

b = 1,1 × 10 3 k g / s

Resposta

a)

k = 4,9 × 10 4 N / m

b)

b = 1,1 × 10 3 k g / s

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