Enunciado

Um temor de terra coloca em vibração no sentido vertical, com frequência angular ω = 20     s - 1 e amplitude de 4   c m , uma plataforma horizontal, sobre a qual está colocado um bloquinho de madeira. A plataforma move-se inicialmente para cima. (a) De que altura terá subido a plataforma no momento em que o bloquinho se desprende dela? (b) De que altura adicional se eleva o bloquinho depois que se separou da plataforma?

Passo 1

(a) No instante em que o bloco está prestes a perder contato com a plataforma, a aceleração do oscilador deve ser igual à aceleração da gravidade.

Se a altura da plataforma é algo do tipo:

z t = A cos ⁡ ω t + ϕ

A aceleração vai ter uma função da seguinte fórmula:

z ¨ t = - A ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ = - ω 2 z

Para que as acelerações sejam iguais, em módulo, temos:

ω 2 z = g

z = g ω 2 = 9,81 20 2 = 2,45   c m

Passo 2

(b) Vamos tentar descobrir quanta energia cinética o bloquinho tinha no instante em que perdeu contato.

A energia total do oscilador é:

E T = k A 2 2

E a energia potencial no instante em que a altura deslocada é z :

U = k z 2 2

Então a energia cinética era:

E T = U + K         ⇒         K = E T - U

K = k 2 A 2 - z 2 = m ω 2 2 A 2 - z 2

Para “subir mais”, o bloquinho vai ter que converter essa energia potencial em energia cinética, então:

K = m g h

ω 2 2 A 2 - z 2 = g h

Substituindo z = g / ω 2 :

ω 2 2 A 2 - g 2 ω 4 = g h

h = 1 2 A 2 ω 2 g - g ω 2

E substituindo os valores numéricos:

h = 1 2 0,04 2 20 2 9,81 - 9,81 20 2 = 0,0204   m

h = 2,04   c m

Resposta

(a) A plataforma terá subido por uma altura z = 2,45   c m .

(b) O bloquinho se eleva por uma altura adicional de h = 2,04   c m .

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