Enunciado

Um engradado de massa de 10,0 kg é puxado por uma inclinação áspera com velocidade escalar inicial de 1,50 m/s. A força para puxar o engradado é 100 N paralela com a inclinação, formando um ângulo de 20,0° com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,400 e o engradado é puxado por 5,00 m. (a) Quanto trabalho é realizado pela força gravitacional no engradado? (b) Determine o aumento em energia interna do sistema engradado-inclinação por causa do atrito. (c) Quanto trabalho é realizado pela força de 100 N no engradado? (d) Qual é a variação na energia cinética do engradado? (e) Qual é a velocidade do engradado depois de ser puxado por 5,00 m?

Passo 1

(a)A formulinha pro trabalho da força gravitacional, a gente já sabe, tem essa formulinha:

W g = m ∙ g ∙ h

Aqui a gente conhece m = 10,0   k g e g a gente pode considerar g = 9,8   m / s 2 . Mas h a gente não sabe ainda, só que a gente tem como descobrir a partir do seguinte esqueminha, que representa o deslocamento de 5 metros do engradado pela inclinação:

Agora encontrar h é tranquilo, gente, fazemos isso por trigonometria! Você sabe que sin ⁡ θ = c a t .   o p o s t o h i p o t e n u s a , então vamos aplicar isso pra sin ⁡ 20 ° , que vale sin ⁡ 20,0 ° ≅ 0,342 .

Com isso, a gente tem:

sin ⁡ 20,0 ° = h 5,00 = 0,342

h = 0,342 ∙ 5,00 = 1,71   m

Por fim, a gente calcula o trabalho da força gravitacional:

∴ W g = m ∙ g ∙ h = 10,0 ∙ 9,8 ∙ 1,71 = 167,6   J

Passo 2

(b)Pra isso a gente precisa calcular o trabalho da força de atrito!

A formulinha a gente conhece, que é essa:

W a t = F a t ∙ d

Onde d é o deslocamento do engradado, que vale d = 5,00   m e F a t tem a seguinte formulinha:

F a t = μ ∙ N

Sendo μ o coeficiente de atrito, que vale μ = 0,400 e N é a força normal. A força normal a gente não tem, e então precisamos determinar seu valor a partir do esqueminha do Passo 1.

Vamos fazer o diagrama de corpo livre no engradado, e assim a gente vai descobrir o valor pra N . Observa bem:

Como o engradado não flutua e nem afunda na rampa que ele sobe, naturalmente as forças N e m ∙ g ∙ cos ⁡ 20,0 ° (decomposição da força peso, m ∙ g , a direção normal) precisam ser iguais!

Com isso, a gente escreve:

N = m ∙ g ∙ cos ⁡ 20,0 °

Agora só aplicar os dados que a gente já tem e determinamos N ! A gente vai ter:

N = 10,0 ∙ 9,8 ∙ 0,940 = 92,09   N   ( n e w t o n )

Maravilha, amores, agora a gente consegue calcular o trabalho da força de atrito! Só aplicar na primeira equação os dados que a gente já tem, e daí vamos determinar!

A gente vai ter:

W a t = F a t ∙ d = μ ∙ N ∙ d =

= W a t = 0,400 ∙ 92,09 ∙ 5,00 =

∴ W a t = 184,2   J

Passo 3

(c)O trabalho dessa força, como pra qualquer outra, vai ter a formulinha:

W = F ∙ d

Sendo F = 100   N e d = 5,00   m , a gente tem:

∴ W = 100 ∙ 5,00 = 500   J

Passo 4

(d)Pela lei da conservação de energia, a gente tem:

E M = K + U

Ou seja, a energia total do sistema (energia mecânica) é a soma das energias cinética e potencial. A gente pode colocar deltas em cada um desses termos, indicando a variação de cada uma. Olha só, você vai entender:

∆ E M = ∆ K + ∆ U

Bom, o valor pra variação da energia mecânica vai ser o somatório entre o trabalho da força potencial gravitacional W g , a força F = 100   N , menos o trabalho da força de atrito, que “remove” energia do sistema.

Nisso, a gente tem:

∆ E M = 167,6   J + 500   J - 184,2 = 483,4   J

A variação da energia potencial gravitacional vai valer, como a gente já calculou:

∆ U = 167,6   J

Com isso, a gente consegue determinar ∆ K :

∆ K = ∆ E M - ∆ U

∴ ∆ K = 483,4   J - 167,6   J = 315,8   J

Passo 5

(e)A gente calcula a velocidade final v f a partir da variação da energia cinética que a gente acabou de calcular. A gente tem o seguinte:

∆ K = K f - K i = m ∙ v f 2 2 - m ∙ v i 2 2

∆ K = m ∙ v f 2 - v i 2 2

315,8 = 10,0 ∙ v f 2 - 1,50 2 2

315,8 = 5,00 ∙ v f 2 - 2,25

5,00 ∙ v f 2 - 11,25 = 315,8

5,00 ∙ v f 2 = 327,05

v f 2 = 327,05 5,00 = 65,41

∴ v f = 65,41 ≅ 8,09   m / s

Resposta

(a) W g = 167,6   J

(b) W a t = 184,2   J

(c) W = 500   J

(d) ∆ K = 315,8   J

(e) v f = 8,09   m / s

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