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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade

Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - 3.Problemas - 42

Um paisagista planeja uma cascata artificial em um parque da cidade. A água fluirá a 1,70 m/s do final do canal horizontal no topo de um muro vertical de altura h = 2,35 m e cairá em uma piscina (Fig. P3.42). (a) O espaço atrás da cascata será largo o suficiente para uma passarela de pedestres? (b) Para vender seu projeto para a prefeitura, o paisagista quer construir um modelo em escala padrão, que é um doze avos do tamanho real. Com que velocidade a água deve fluir do canal no modelo?

Passo 1

(a)Seguinte, queridos: o espaço atrás da queda d’água da cascata seria exatamente a passagem dos pedestres, logo espera-se que seja um espaço largo o suficiente pras pessoas passarem sem se molharem, né?

Dito isso, a gente precisa saber exatamente qual seria essa largura d da calçada, em função da velocidade do fluxo da água e também da altura que a água vai cair. Dá pra calcular de boa.

O primeiro passo é saber que a velocidade do fluxo d’água, v = 1,70   m / s , na horizontal, mesmo caindo, é constante na horizontal. Pra velocidades constantes, a gente pode escrever:

v = d t

Onde d é a distância percorrida (no nosso caso, a largura mínima da calçada) e t é o tempo que leva pra percorrer essa distância (no caso, o tempo que a água leva até cair na piscina).

Então a expressão pra largura d vai ser exatamente:

d = v ∙ t

d = 1,70 ∙ t

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Passo 2

Certo?

Nisso, a gente pode escrever uma expressão pra altura h , em função do tempo t que a água vai levar pra cair (que é obrigatoriamente o mesmo da última expressão!). Essa expressão vem da fórmula da cinemática do sorvetão, lembra dela?

Usamos ela porque a queda da água, na vertical, é um movimento acelerado devido a gravidade! É a seguinte formulinha:

∆ S = v 0 ∙ t + a ∙ t 2 2

Mara! Só que, lembra, essa fórmula, agora, considera o deslocamento da água na vertical. A última expressão que a gente escreveu era em função do deslocamento da água a horizontal!

Ok então. Vamos aplicar os nossos dados na fórmula, sabendo que a velocidade de queda inicial é nula, uma vez que a água não tinha velocidade na vertical (só na horizontal!!!), e aqui a gente pode considerar que a = g = 10   m / s 2 , tudo bem?

Aplicando, temos:

∆ S = h = 2,35 = 0 ∙ t + 10 ∙ t 2 2

Com isso, a gente vai ter:

2,35 = 10 ∙ t 2 2

4,7 = 10 ∙ t 2

t 2 = 4,7 0 10 = 0,470

∴ t = 0,470 = 0,686   s

Legal! Calculado o tempo de queda, que é o mesmo tempo t pra expressão do Passo 1, vamos conseguir determinar a largura mínima d da calçada. A gente vai ter:

d = 1,70 ∙ 0,686

∴ d = 1,17   m

Bom, esse é o valor da distância horizontal que a água vai alcançar na sua queda. Nisso, se o espaço é suficiente ou não, a gente não tem uma referência pra dizer, mas dá pra dizer que as pessoas que passarem por debaixo dessa cascata vão ficar limitadas a esse pequeno espaço de calçada!!

Passo 3

(b)Tendo o modelo/maquete montado 1/12 do tamanho do projeto original, a gente começa calculando quando tempo, na maquete, a água levaria pra cair, usando a mesma equação do sorvetão, mas considerando uma altura h = 2,35 12 m , ok? A gente vai ter:

h 12 = 2,35 12 = 10 ∙ t 2 2

2,35 12 = 10 ∙ t 2 2

2,35 6 = 10 ∙ t 2

t 2 = 2,35 60 = 0,0392

∴ t = 0,0392 ≅ 0,198   s

Ok, esse é o tempo que a água, na maquete, vai percorrer a distância d / 12 , que no caso vale:

d 12 = 1,17   m 12 = 0,0975   m

Ótimo! Agora a gente pode determinar a velocidade do fluxo na maquete, usando a equaçãozinha que usamos no Passo 1 de novo! A gente tem:

v = d t

Considerando os novos valores de t e d , a gente vai ter pra velocidade v o seguinte:

∴ v = 0,0975   m 0,198   s ≅ 0,492   m / s

Resposta

(a) Vide Passo 1

(b) v ≅ 0,492   m / s

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