Enunciado

Um ponto em uma mesa giratória a 20,0 cm do centro acelera do repouso a uma velocidade final de 0,700 m/s em 1,75 s. Em t = 1,25 s, encontre o módulo e a direção da (a) aceleração radial, (b) aceleração tangencial e (c) aceleração total do ponto.

Passo 1

Aqui, migos, pra começar, a gente precisa determinar a aceleração tangencial a partir dos dados do exercício, beleza?

Dados a velocidade final v de 0,700   m / s , a partir do repouso, e o tempo levado pra alcançar essa velocidade, de t = 1,75   s , a gente consegue achar essa aceleração, mas antes precisamos converter v em ω , a velocidade angular final!

E isso é fácil, pela formulinha que já conhecemos:

ω = v r

No nosso caso, vai valer:

ω = 0,700   m / s 0,20   m = 3 , 5   r a d / s

Beleza! Com isso, a gente consegue calcular α , a aceleração angular, pela formulinha do vovô ateu pra MCA:

ω = ω 0 + α ∙ t

Só aplicar nossos dados que vamos ter:

3 , 5 = 0 + α ∙ 1,75

∴ α = 2   r a d / s 2

Legal! Agora a gente vai trabalhar com o vovô ateu pra MCA considerando esse valor de α !

Passo 2

Certo. Pra gente responder (a), a aceleração radial ou centrípeta, precisamos usar a clássica formulinha:

a c p = v 2 r

Só que a gente quer a c p pra t = 1,25   s e, pra isso, a gente precisa conhecer a velocidade v nesse instante! Como fazer isso?

Justamente a partir do vovô ateu pra MCA. A gente vai começar calculando a velocidade angular ω no instante t = 1,25   s e, daí, convertemos ω em v pela formulinha que vamos ver daqui a pouco, mas sei que você já conhece !

Beleza? Considerando ω 0 = 0   r a d / s (repouso), a aceleração angular α calculada no último passo e t = 1,25   s , vamos aplicar e determinar ω :

ω = 0 + 2 ∙ 1,25

ω = 2 , 5   r a d / s

Ok, agora passamos isso pra velocidade linear ou tangencial v pela formulinha:

ω = v r

Queremos v , então isolamos o termo e aplicamos os dados que temos:

v = ω ∙ r = 2 , 5   r a d / s ∙ 0,20   m

v = 0,5   m / s

Obtida a velocidade linear, podemos determinar a aceleração radial ou centrípeta! A gente vai ter:

∴ a c p = 0,5   m / s 2 0,20   m = 1 , 25   m / s 2

Ah, e quanto a direção dessa aceleração, ela é sempre radial, ou seja, na direção do raio da circunferência, ok? Sempre!

Passo 3

(b)Pra determinar a aceleração tangencial a gente usa uma formulinha análoga a que usamos no último Passo:

α = a r

Em que α (alfa) é a aceleração angular, a a aceleração tangencial (ou linear), que queremos calcular aqui, e r é o raio.

Ótimo! A gente já conhece o valor de α do Passo 1 e também temos o raio. A gente vai ter então:

∴ a = 2   r a d s 2 ∙ 0,20   m = 0,40   m / s 2

Essa aceleração, por ser tangencial, tem direção perpendicular ao raio da circunferência, tangenciando a mesma, beleza?!

Passo 4

(c)Então, a aceleração centrípeta e a tangencial que calculamos em (a) e (b) são perpendiculares entre si. Vamos fazer um esqueminha de vetores com elas, e a resultante delas, sem proporção exata, mas considerando os módulos delas:

Beleza, gente, a aceleração resultante, ou total, tem então essa direção, secante à circunferência, certo? Mas e o módulo?

Basta a gente aplicar Pitágoras, sendo o módulo da resultante a nossa hipotenusa, beleza? A gente vai ter:

a r e s 2 = a c p 2 + a 2

a r e s 2 = 1 , 25 2 + 0,40 2 = 1 , 7225

∴ a r e s = 1 , 7225 ≅ 1 , 31   m / s 2

Resposta

(a) a c p = 1 , 25   m / s 2

(b) a = 0,40   m / s 2

(c) a r e s ≅ 1,31   m / s 2

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