Exercícios Resolvidos de Fluxo em Curvas

UNICAMP - Cálculo 2 - P3 2010 Manhã - 1b

Considere um campo de vetores G ( x , y ) e uma curva C , fechada, de forma retangular, como na figura abaixo. Analise o sinal da integral de linha G . n d t ( n é o versor normal exterior) sobre cada um dos segmentos de C . O fluxo de G sobre C é positivo ou negativo? Justifique as respostas.

Passo 1

Essa questão é resolvida basicamente pelos conceitos de produto escalar. Nós queremos saber o sinal da integral de linha

G n d t

Então onde o produto G n for negativo a integral será negativa e onde for positivo será positivo. Vamos analisar cada segmento separadamente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com o segmento C B .

Se a curva está orientada com a normal n apontando para fora e, nesse trecho, o campo G (como vemos pela figura) tem a mesma direção e sentido de n , sabemos que o produto escalar é positivo.

Em outras palavras: a projeção do campo na direção de n tem o mesmo sentido de n , portanto, o fluxo é positivo.

Seguindo esse mesmo raciocínio para o trecho A D , temos o resultado oposto: o fluxo é negativo. Isso porque a projeção do campo na direção de n tem sentido oposto a n .

Passo 3

Em resumo: a orientação positiva de C é com a normal para fora, logo, onde o campo “sai”, a integral G . n d t é positiva, onde ele “entra” é negativa.

Em A B e D A é negativo e B C e C D   positivo.

A B G n   d t   < 0

D A G n   d t < 0

B C G n   d t > 0

C D G n   d t > 0

Passo 4

Agora vamos analisar o fluxo total na curva fechada C . Sabemos que em dois trechos o fluxo é positivo e em outros 2 negativo, mas isso não quer dizer que o total é zero!

Esses fluxos tem valores diferentes, dependendo do tamanho do vetor do campo no trecho.

Se você reparar, nos trechos A B e C D o campo tem o mesmo módulo, ou seja, seus vetores têm o mesmo tamanho. Portanto, os valores absolutos das integrais são os mesmos, porém, com sinal contrário. Assim, temos:

A B G n   d t + C D G n   d t = 0

Passo 5

Agora vamos ver os trechos A D e B C . O primeiro tem fluxo negativo e o segundo, positivo, sendo que o campo tem módulo maior no segundo. Portanto, podemos escrever:

D A G n   d t + B C G n   d t > 0

Passo 6

Sobre o fluxo total temos:

ϕ f l u x o C = A B G n   d t + C D G n   d t 0 + D A G n   d t + B C G n   d t

ϕ C = D A G n   d t + B C G n   d t > 0

Logo, o fluxo total é positivo.

Resposta

A B G n   d t   < 0

D A G n   d t < 0

B C G n   d t > 0

C D G n   d t > 0

ϕ f l u x o C > 0

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