Exercícios Resolvidos de Força Centrípeta

Força Gravitacional

Os satélites geoestacionários são aqueles que se encontram “parados” em relação a um ponto fixo na superfície terrestre (em geral, sobre a linha do equador terrestre). Por isso são usados como satélites de comunicação. Considere um satélite geoestacionário de massa m com órbita circular de raio R concêntrica com o globo terrestre. Adotando um sistema de referencial polar com centro no planeta Terra, determinar:

a ) O período T s a t do movimento circular do satélite em segundos.

b ) O raio da órbita circular em função do período do MCU (movimento circular uniforme), da massa da Terra, M e da constante da gravitação universal, G .

c ) A velocidade escalar (ou módulo do vetor velocidade) em termos dos mesmos parâmetros da parte ( b ) .

Passo 1

a )

Para que um satélite seja geoestacionário sua velocidade angular ( ω s a t ) tem que ser igual à velocidade angular associada ao deslocamento de um ponto no equador terrestre:

ω s a t = ω e q d

Para isso, basta que os períodos sejam iguais. Tendo em vista que o período de rotação da terra é de 24 horas, temos:

T s a t = T r o t ≅ 24 h

T s a t = 86.400 s

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Passo 2

b )

A força centrípeta agindo sobre o satélite é a força de atração gravitacional entre o satélite e a Terra. Podemos escrever:

F c p = F g r a v i t a c i o n a l

A partir da lei de Newton podemos escrever:

m v 2 R = G M m R 2

Isolando o R , temos:

R = G M v 2

Entretanto o enunciado não quer que apareça v na expressão, ele quer que apareça o período T .

Lembramos que

v = ω R

E também que:

ω = ∆ θ ∆ t = 2 π T

Substituindo:

v = 2 π R T

Assim, em termos do período, a distancia até o centro da terra obedece a relação:

R = G M 2 π R T 2

R = G M T 2 4 π 2 R 2

R 3 = G M T 2 4 π 2

R = G M T 2 4 π 2 3

Passo 3

c )

Do item anteriores temos que:

v = 2 π R T

Substituindo o R encontrado no item anterior:

v = 2 π G M T 2 4 π 2 3 T

Jogando o 2 π e o T para dentro da raiz cubica:

v = 2 3 π 3 G M T 2 T 3 4 π 2 3

v = 2 π G M T 3

Resposta

a )   T s a t = 86.400 s

b )   R = G M T 2 4 π 2 3

c )   v = 2 π G M T 3

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