Exercícios Resolvidos de Força de Atrito

Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica

Um corpo de massa m = 2,00   k g parte do repouso no ponto A , situado a uma altura h sobre uma rampa curva e com atrito desprezível. Admita a energia potencial gravitacional como sendo nula em A . O corpo chega ao final da rampa em B com velocidade v B = 43,2   K m / h , onde se inicia um trecho horizontal B C com comprimento d = 10,0   m . Neste trecho B C , o coeficiente de atrito cinético entre o corpo e a superfície cresce linearmente com a posição x , tal que μ x = 0,04 x . Após o ponto C o corpo choca-se com uma mola ideal de constante elástica S = 2000   N / m e a comprime uma distância X até parar. Durante a compressão da mola, o coeficiente de atrito cinético entre o corpo e a superfície é constante e vale μ C = 0,15 . Utilize considerações de trabalho e energia para responder as perguntas abaixo.

a) Calcule o valor da energia potencial gravitacional do corpo em B .

b) Esboce o gráfico do módulo da força de atrito cinético versus a distância percorrida pelo corpo no trecho B C e calcule o módulo da velocidade v C que o corpo possui ao atingir a mola em C .

c) Usando o Teorema do trabalho-energia cinética, calcule a compressão X sofrida pela mola em centímetros.

Passo 1

(a)

Pela conservação da energia mecânica, temos:

K A + U A = K B + U B

0 + 0 = 1 2 m v 2 + U B

U B = - 1 2 m v 2 = - 144   J

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Passo 2

(b)

Temos que a força de atrito é dada por:

F a t = N μ ( x )

Mas,

N = P = m g = 20 N

E

μ x = 0,04 x

Logo,

F a t = N μ x = 0,8 x

Então, como a força de atrito cresce linearmente com a distância, o gráfico será uma reta:

𝐷𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑚 𝑓𝑜𝑟ç𝑎���� 𝑛ã𝑜 −𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎, pelo teorema trabalho-energia:

∆ E M = W N C

E M c - E M B = W f a t

K C + U C - K B + U B = W f a t

Entretanto como a plataforma está nivelada entre os pontos B e C :

U C = U B

Logo:

m V C 2 2 - m V B 2 2 = W f a t

Para encontrar o 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑑a força de 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜, basta calcular a á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜:

Á r e a = b a s e   .   a l t u r a 2 = 10   .   8 2   = 40

Como a força de atrito é contrária a trajetória, o trabalho é negativo. Então:

W f a t = -   40   J

Substituindo na equação:

2 V C 2 2 - 2 V B 2 2 = - 40

V C 2 = V B 2 - 40

V C = 12 2 - 40  

V C = 104   ≈   10,2   m / s

Passo 3

(c)

O teorema nos diz que o trabalho da força resultante é igual à variação da energia cinética:

W R e s = ∆ K

W P + W N + W f a t + W F e l = K f - K i

W P = W N = 0   f o r ç a s   p e r p e n d i c u l a r e s   a o   d e s l o c a m e n t o   n ã o   r e a l i z a m   t r a b a l h o   W F e l = - ∆ U e l = - k x 2 2 - 0 = - k x 2 2

f a t →   .   d → - k x 2 2 = 0 - m V C 2 2

μ c . m . g . x . cos ⁡ π - k x 2 2 = - m V C 2 2

Substituindo os dados do problema:

1000 x 2 + 3 x - 104 = 0

Logo:

x ≈ 0,321   m ≈ 32   c m .  

Resposta

(a)

U B = - 144   J

(b)

V C ≈ 10,2   m / s

(c)

x ≈ 32   c m .

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