Exercícios Resolvidos de Força hidrostática

PUC-RJ - Cálculo B - P3 2013.2 – 1

Uma vala está cheia de um líquido de densidade ρ até uma altura de 3 metros. As extremidades da vala são trapézios isósceles com base menor no fundo e medindo 4 metros. A base maior mede 8 metros e a altura do trapézio é de 4 metros. Calcule a força hidrostática em uma extremidade da vala.

Passo 1

Vamos identificar o que foi pedido: Força Hidrostática em uma extremidade da vala! Então vamos escrever a equação que conhecemos de força hidrostática. Sabemos que numa minifaixa de comprimento infinitesimal, como mostrado na figura, a força hidrostática que age sobre essa minifaixa de área d A é:

d F = ρ g y   d A

Só que como a área dessa minifaixa, que é considerada um retângulo de base ( 4 + 2 a ) e altura d y é dada por:

d A = 4 + 2 a d y

Teremos a expressão da força hidrostática nessa minifaixa:

d F = ρ g y 4 + 2 a d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Reparem que o valor de a é diferente pra cada minifaixa da extremidade da vala. Então temos de achar uma relação entre a e y , pra que a gente possa resolver o problema. E olhando o segundo desenho do enunciado, que mostra só uma lateral da extremidade da vala, podemos utilizar uma semelhança de triângulos e observar que:

2 4 = a 3 - y

a = 3 - y 2

Passo 3

Substituindo o valor de a que encontramos na expressão da força hidrostática, vamos ficar com:

d F = ρ g y 4 + 2 3 - y 2 d y

E agora basta integrar dos dois lados e resolver a seguinte integral:

F = ∫ 0 3 ρ g y 7 - y d y

Resolvendo:

F = ρ g 7 y 2 2 - y 3 3

E avaliando no intervalo [0;3], encontramos:

F = 45 2 ρ g

Resposta

F = 45 2 ρ g     ( N )

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