Exercícios Resolvidos de Forma Quadrática – Quádricas

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2018.2, Questão E9

Considere a superfície quádrica dada por

x 2 + 2 y 2 - 2 x + 4 y + z + 2 = 0

No espaço x y z . Assinale a alternativa correta.

  1. A quádrica é um elipsoide
  2. A quádrica é um hiperboloide de duas folhas.
  3. A quádrica é um cone.
  4. A interseção da quádrica com o plano y = 2 é uma parábola.
  5. A interseção da quádrica com o plano z = 2 é uma elipse.

Passo 1

Bom, se a gente for tentar descobrir que quádrica é essa, vai levar um tempãaaaao, porque vamos ter que fazer aquele negócio de representação matricial da quádrica pra achar a matriz Q. Depois vamos ter que achar os autovetores e atovalores da matriz Q pra poder escrever a forma matricial da quádrica em função dessas paradas, para só então descobrir que danada de quádrica é essa.

Felizmente, existem duas opções que não envolvem descobrir a quádrica, só a interseção dela com algum plano. Então vamos nos prender a elas e torcer pra uma delas ser a resposta da questão!!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar fazendo a interseção da quádrica com a plano y = 2 .

Basta substituir y = 2 na expressão lokona da quádrica e vê no que dá:

x 2 + 2 y 2 - 2 x + 4 y + z + 2 = 0

x 2 + 2 . ( 2 ) 2 - 2 x + 4 . 2 + z + 2 = 0

x 2 - 2 x + z + 8 + 8 + 2 = 0

x 2 - 2 x + z + 18 = 0

Beleza, nosso objetivo é tentar transformar isso na expressão de uma parábola, porque temos uma opção que diz isso e a gente quer muito que isso seja verdade, não e mesmo?

Então é só a gente jogar tudo que tem x pra um lado e deixar o z isolado do outro e, voilà, teremos nossa parábola!

z = - x 2 + 2 x - 18

Passo 3

Então é isso!

Fé no Pai e nem precisamos testar a outra opção e nem encontrar a quádrica.

AMÉM!

Resposta

L e t r a   d

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