Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

3b) Calcule as seguintes integrais definidas:

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x

Passo 1

Ô integral feia em! Vamos deixar ela mais bonita. Pra começar, veja que temos um polinômio sobre o outro. Geralmente esse é um bom indício de que usaremos frações parciais. Sendo assim, pra começar, vamos colocar um x em evidência no denominador:

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = ∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x x 2 + 3 x + 2 d x

Opa, surgiu um polinômio de segundo grau no denominador em! Vamos ver se tiramos alguma informação dele usando Bháskara? Seja:

x 2 + 3 x + 2 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

Segundo a fórmula de Bháskara, as raízes x 1,2 desse polinômio são calculador por:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Seja:

a = 1 b = 3 c = 2

Vamos ter:

x 1,2 = - 3 ± 3 2 - 4 ∙ 1 ∙ 2 2 ∙ 1 = - 3 ± 9 - 8 2 = - 3 ± 1 2 = - 3 ± 1 2

E logo:

x 1,2 = - 3 + 1 2 = - 2 2 = - 1 - 3 - 1 2 = - 4 2 = - 2

Reescrevemos então o polinômio do segundo grau para:

x 2 + 3 x + 2 = x + 1 x + 2

E a integral fica:

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x x 2 + 3 x + 2 d x = ∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x x + 1 x + 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, mas como isso ajuda a gente a resolver a questão. Bem, agora que temos no denominador produtos de polinômios de grau 1 , podemos reescrever o interior da integral como:

x 2 - 3 x + 2 x x + 1 x + 2 = A x + B x + 1 + C x + 2

Onde A , B , C são números que vamos determinar ainda. Pra determinar, bora colocar todo mundo na equação acima no mesmo denominador:

x 2 - 3 x + 2 x x + 1 x + 2 = A x + 1 x + 2 x x + 1 x + 2 + B x x + 2 x x + 1 x + 2 + C x x + 1 x x + 1 x + 2

E cortando o denominador agora:

x 2 - 3 x + 2 = A x + 1 x + 2 + B x x + 2 + C x x + 1

Aplicando a distributiva:

x 2 - 3 x + 2 = A x 2 + 3 x + 2 + B x 2 + 2 B x + C x 2 + C x

x 2 - 3 x + 2 = A x 2 + 3 A x + 2 A + B x 2 + 2 B x + C x 2 + C x

Agrupando os termos, temos:

1 x 2 + - 3 x + 2 = A + B + C x 2 + 3 A + 2 B + C x + 2 A

Opa, agora conseguimos montar um sistema de equações se juntarmos os termos multiplicando cada potência de x . O sistema vai ficar:

A + B + C = 1 3 A + 2 B + C = - 3 2 A = 2

A última linha já mata uma pra gente, vamos ter:

A = 1

E logo:

1 + B + C = 1 3 + 2 B + C = - 3

O que dá:

B + C = 0 2 B + C = - 6

Subtraindo a primeira linha da segunda, temos:

B - 2 B + C - C = 0 - - 6

- B = 6

B = - 6

E como B + C = 0 , concluímos então que:

A = 1 B = - 6 C = 6

No final das contas, reescrevemos:

x 2 - 3 x + 2 x x + 1 x + 2 = A x + B x + 1 + C x + 2

x 2 - 3 x + 2 x x + 1 x + 2 = 1 x - 6 x + 1 + 6 x + 2

Passo 3

Agora sim a gente vai realmente resolver a integral. Primeiro achamos:

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = ∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x x 2 + 3 x + 2 d x

Depois achamos:

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x x 2 + 3 x + 2 d x = ∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x x + 1 x + 2 d x

E no último passo achamos:

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x x + 1 x + 2 d x = ∫ 1 2 1 x - 6 x + 1 + 6 x + 2 d x

Sendo assim, ficamos com:

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = ∫ 1 2 1 x - 6 x + 1 + 6 x + 2 d x

Da propriedade das integrais, temos:

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = ∫ 1 2 1 x d x - ∫ 1 2 6 x + 1 d x + ∫ 1 2 6 x + 2 d x

Resolvendo:

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = ln ⁡ x - 6 ln ⁡ x + 1 + 6 ln ⁡ x + 2 x = 1 x = 2

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = ln ⁡ 2 - 6 ln ⁡ 3 + 6 ln ⁡ 4 - ln ⁡ 1 - 6 ln ⁡ 2 + 6 ln ⁡ 3

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = ln ⁡ 2 - 6 ln ⁡ 3 + 6 ln ⁡ 4 - - 6 ln ⁡ 2 + 6 ln ⁡ 3

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = ln ⁡ 2 - 6 ln ⁡ 3 + 6 ln ⁡ 4 + 6 ln ⁡ 2 - 6 ln ⁡ 3

Resultando finalmente em:

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = 7 ln ⁡ 2 - 12 ln ⁡ 3 + 6 ln ⁡ 4

Se quiser, como 4 = 2 2 , pode responder ainda:

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = 7 ln ⁡ 2 - 12 ln ⁡ 3 + 6 ln ⁡ 2 2

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = 7 ln ⁡ 2 - 12 ln ⁡ 3 + 12 ln ⁡ 2

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = 19 ln ⁡ 2 - 12 ln ⁡ 3

Resposta

∫ 1 2 x 2 - 3 x + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = 7 ln ⁡ 2 - 12 ln ⁡ 3 + 6 ln ⁡ 4 = 19 ln ⁡ 2 - 12 ln ⁡ 3

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