Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

James Stewart, Cálculo Vol. 1, tradução da 5ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2005, pp. 500 ex 38 – modificado

Avalie a integral

x 4 + 1 x x 2 + 1 2 d x

Passo 1

Só para variar, uma integral indefinida, de uma função racional, que não parece muito amigável. Nesse caso, aplicamos frações parciais.

Primeiro tenho que conferir se o grau do numerador é menor que o do denominador:

O polinômio do numerador tem grau 4 e o do denominador tem grau 5   check!

O polinômio do denominador já parece estar na sua forma fatorada, certo?

Temos um x 2 ali, que é um termo linear x que aparece duas vezes, beleza?

Vamos conferir que aquele polinômio ali no denominador é irredutível?

Δ = b 2 -   4 a c = 0 2 - 4 1 1 = - 4 < 0

Como Δ < 0 , o termo é um quadrático irredutível e não há mais nada a fazer.

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Passo 2

O termo quadrático irredutível se repete, percebe? Temos x 2 + 1 2 e, se repararmos bem, ele é um polinômio do tipo x 2 +   b x + c   com b = 0 . Sendo assim, podemos desmembrá-lo como

1 x 2 + 1 2 = C x + D x 2 + 1 + D x + E x 2 + 1 2

Então teremos:

x 4 + 1 x x 2 + 1 2 = A x + B x + C x 2 + 1 + D x + E x 2 + 1 2

Fazendo o MMC:

x 4 + 1 x x 2 + 1 2 = A x 2 + 1 2 + B x + C x x 2 + 1 + D x + E x x x 2 + 1 2

x 4 + 1 = A x 4 + 2 A x 2 + A + B x 4 + C x 3 + B x 2 + C x + D x 2 + E x

x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 1 = x 4 A + B + x 3 C + x 2 2 A + B + D + x C + E + ( A )

Resolvendo o sistema para achar as constantes:

A + B = 1       ( 1 )   C = 0       ( 2 ) 2 A + B + D = 0       ( 3 ) C + E = 0       ( 4 ) A = 1       ( 5 )

C = 0   ; A = 1   ; B = 0   ; D = - 2   ; E = 0  

Passo 3

Substituindo as constantes:

x 4 + 1 x x 2 + 1 2 d x = 1 x + 0 x + 0 x 2 + 1 + - 2 x + 0 x 2 + 1 2 d x = d x x - 2 x d x x 2 + 1 2

Integrando essa bagaça (a segunda integral sai por substituição simples u = x 2 + 1 ), sem estresse!

d x x - 2 x d x x 2 + 1 2 = ln x + 1 x 2 + 1 +   C

E não esquece a constante porque é uma integral indefinida!

Resposta

x 4 + 1 x x 2 + 1 2 d x = 1 x 2 + 1 + ln x + C

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