Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

USP, Cálculo 1, P3 - 2014, Questão 2

Calcule a integral

- π 4 π 6 sec 2 x tg x - 2 tg x - 1 2 d x

Passo 1

Olha que temos essas secantes aí em cima. Elas são exatamente a derivada da tangente. Se nós fizermos uma substituição chamando essa tangente de outra variável simplificamos muito nossa equação:

tg ( x ) = y   ; d y = sec 2 ( x ) d x

y s u p e r i o r = tg π 6 = 3 3   ; y i n f e r i o r = tg - π 4 = - 1

- π 3 π 6 sec 2 x tg x - 2 tg x - 1 2 d x = - 1 3 3 d y y - 2 y - 1 2

Agora eu fiquei com um negócio com produto de funções de primeiro grau no denominador. Toda cara de frações parciais, né? Vamos abrir essa função dessa forma então:

1 y - 1 y - 2 2 = A y - 2 + B y - 1 + C y - 1 2

1 y - 1 y - 2 2 = A y - 1 y - 1 + B y - 1 y - 2 + C ( y - 2 ) ( y - 2 ) y - 1 2

1 y - 1 y - 2 2 = A ( y 2 - 2 x + 1 ) + B ( y 2 - 3 y + 2 ) + C ( y - 2 ) ( y - 2 ) y - 1 2

1 y - 1 y - 2 2 = y 2 A + B + y - 2 A - 3 B + C + ( A + 2 B - 2 C ) ( y - 2 ) y - 1 2

A + B = 0 - 2 A - 3 B + C = 0 A + 2 B - 2 C = 1

B = - 1   ; A = 1   ; C = - 1

1 y - 2 y - 1 2 = 1 y - 2 + - 1 y - 1 + - 1 y - 1 2

Voltamos para a integral:

- 1 3 3 d y y - 2 y - 1 2 = - 1 3 3 1 y - 2 + - 1 y - 1 - 1 y - 1 2 d y

- 1 3 3 1 y - 2 + - 1 y - 1 - y - 1 - 2 d y

= ln | y - 2 | - ln y - 1 + 1 y - 1 [ 3 / 3 - 1

ln 3 3 - 2 - ln 3 3 - 1 + 1 3 3 - 1 - ln - 1 - 2 - ln - 1 - 1 + 1 - 1 - 1

= ln 2 - 3 3 - ln 1 - 3 3 + 1 3 3 - 1 - ln 3 + ln 2 + 1 2

Sim, o resultado é essa coisa gigante horrível.

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Resposta

- π 4 π 6 sec 2 x tg x - 2 tg x - 1 2 d x = ln 2 - 3 3 - ln 1 - 3 3 + 1 3 3 - 1 - ln 3 + ln 2 + 1 2

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