Exercícios Resolvidos de Função Corrente e Função Potencial

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Considere o seguinte escoamento incompressível bidimensional, que claramente satisfaz a continuidade:

u =   U 0 = c o n s t a n t e ,   v =   V 0 = c o n s t a n t e

Encontre a função corrente ψ ( r ,   θ ) para esse escoamento usando coordenadas polares.

Passo 1

A função corrente é definida em coordenadas cartesianas como:

u = ψ y ,         v = - ψ x

Depois que acharmos a expressão de ψ ( x , y ) , mudamos as coordenadas com mudanças polares abaixo

x = r cos θ

y = r sen θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Seguindo o passo a passo, devemos escolher uma das duas equações do passo 1 para integrar. Vamos escolher a primeira:

u = ψ y U 0 = ψ y ψ x , y = U 0 y + f ( x )

Passo 3

Agora, derivamos a expressão obtida no passo anterior com relação a outra variável que aqui é x , ou seja, calculamos

ψ x

Calculando, temos

ψ x = f ' ( x )

Passo 4

Usando a definição de função corrente, temos

v = - ψ x V 0 = - f ' x f x = - V 0 x

Passo 5

Juntando tudo, temos que

ψ x , y = U 0 y - V 0 x

Passo 6

Para passar para coordenadas polares, basta fazer a mudança polar enunciada no passo 1.

ψ r , θ = U 0 r sin θ - V 0 r cos θ

Resposta

ψ r , θ = U 0 r sin θ - V 0 r cos θ

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