Exercícios Resolvidos de Função de uma Variável Aleatória Discreta

PUCRIO, Probabilidade e Estatísitica, P1 - 2011.2, Questão 1c)

  1. Prove V a r a X + b = a ² . V a r ( X ) .

Passo 1

Vamos lá que isso aqui é demonstração chata...

V a r X = E X 2 - E X 2

Vamos partir daí.

V a r a X + b = E a X + b 2 - E a X + b 2

= E a X 2 + 2 a b X + b 2 - E a X + b 2

Distribuindo a esperança ali do lado direito...

= E a X 2 + 2 a b X + b 2 - E a X + E b 2

= E a X 2 + 2 a b X + b 2 - E 2 a X + 2 E a X E b + E 2 b

= E a X 2 + E 2 a b X + E b 2 - E 2 a X - E 2 a b X - E 2 b

A gente sabe que esperança de uma constante é igual a zero... então E ( b ) ² e E ² ( b ) são cancelados.... assim como o E ( 2 a b X ) também se cancelam. Sobra só:

= E a X 2 - E ² ( a X )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A gente não viu que:

V a r X = E X 2 - E X 2

Então:

E a X 2 - E 2 a X = a 2 . V a r ( X )

Pronto, provamos o que queríamos.

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