Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 35

35) Considere a curva parametrizada por r t = sin π t ,   e t - 1 , com 1 t 2 .   Calcule C   F d r ,   onde

F x ,   y = - y 2 sin x ,   2 y cos x .

Passo 1

Então, resolver uma integral de linha no caso vetorial, existem, agora, três formas de resolvê-la:

1º - Forma direta.

2º - Teorema de Green.

3º - Com funções potenciais.

Pra você saber qual desses três caminhos seguir, a dica é começar observando o campo. Então venha comigo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

F = - y 2 sin x ,   2 y cos x

Repare que ele é bem complicado para resolver de uma forma direta, então calculemos a subtração

F 2 x - F 1 y

F 2 x = x 2 y cos x = - 2 y sin x

Calculando a segunda derivada...

F 1 y = y - y 2 sin x = - 2 y sin x

Vamos ter portanto:

F 2 x - F 1 y = 0

Epa!!! Esse cara deu 0 !

Esse resultado sugeriria o teorema de Green, no entanto, se olharmos para a curva:

r t = sin π t ,   e t - 1

Vamos notar uma coisa, a curva é bem complexa e nem temos ideia de quem ela possa ser (inclusive se é fechada ou não).

Por isso, vamos escolher aqui o terceiro caminho: Com funções potenciais !

Passo 3

Sabemos que esse campo F tem uma função f potencial, pois essa subtração famosa deu 0 e além disso o campo não tem problema de definição. Então, vamos agora buscar essa tal função f pela definição de função potencial:

F = f

Como o gradiente de f é:

f = f x ,   f y  

F = f x ,   f y

- y 2 sin x ,   2 y cos x = f x ,   f y

Onde tiramos duas igualdades:

- y 2 sin x = f x                                                         1 º

2 y cos x = f y                                                                 2 º

Passo 4

Com a segunda igualdade, que parece ser menos trabalhosa, calculemos uma integral “revertendo” a derivada e voltando para a função f ...

f = 2 y cos x   d y + G x

Porém repare que apareceu uma função que depende somente de x ali, pois caso derivemos novamente essa função em relação à y , ela desaparece por ser considerado uma “constante” perante y , logo... Na integral ela reaparece, sacou?

Calculando essa integral com relação à y ...

f = cos x 2 y   d y + G x

f = 2 y 2 2 cos x + G x

f = y 2 cos x + G x

Passo 5

Basicamente essa é a função potencial, porém, como você pode ver, ainda falta uma coisa a descobrir, a função G x . Façamos isso utilizando a primeira igualdade...

- y 2 sin x = f x                                                         1 º

Derivando a função f que determinamos acima em relação à x então...

f = y 2 cos x + G x                     f x = x y 2 cos x + G x x

Esse segundo termo de derivada é uma derivada simples, pois G só depende de x ...

f x = x y 2 cos x + G ' x  

Derivando...

f x = - y 2 sin x + G ' x  

E agora comparando com a igualdade número 1 ...

- y 2 sin x = - y 2 sin x + G ' x

G ' x = 0

Logo... A única forma dessa derivada zerar é se a função for uma constante...

G x = k

Então a função potencial finalmente é

f = y 2 cos x + G x

f = y 2 cos x + k

Passo 6

Para matar charada, antes apenas lembre que com uma função potencial f em mãos, calculamos uma integral de linha muito fácil tendo apenas o ponto inicial A e o ponto final B , pois...

A B F d r = f B - f A

Então...

Passo 7

Como a curva é r t = sin π t ,   e t - 1 , com 1 t 2 , o ponto inicial acontece quando t = 1 ...

t = 1         A =   r 1 = sin π ,   e 0 = 0 ,   1

E o ponto B ...

t = 2         B =   r 2 = sin π 2 ,   e 1 = 1 ,   e

C   F d r = f B - f A

Como...

f = y 2 cos x + k         f B = e 2 cos 1 + k

e f A é...

f = y 2 cos x + k         f A = cos 0 + k   =

1 + k

Então...

C   F d r = e 2 cos 1 + k - 1 + k =

e 2 cos 1 - 1

Resposta

e 2 cos 1 - 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas