Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 6, Questão 42

42) Calcule

C   F d r

Onde F x ,   y ,   z = e - y - z e - x , e - z - x e - y , e - x - y e - z   e C é a curva parametrizada por

r t = ln 1 + t ln 2 , sin π t 2 , 1 - e t 1 - e ,                 0 t 1

Passo 1

Com uma parametrização dessas o que podemos fazer é torcer que F seja com campo conservativo para assim usarmos a função potencial, vamos verificar isso

Para descobrirmos se essa parada é conservativa temos que achar

r o t F = F 3 y - F 2 z , F 1 z - F 3 x ,   F 2 x - F 1 y

Nesse exercício ele fez F 1 = e - y - z e - x , F 2 = e - z - x e - y e F 3 = e - x - y e - z , mas as contas são as mesmas

1 º                                                           F 3 y = y e - x - y e - z = - e - z

2 º                                                               F 2 z = z e - z - x e - y = - e - z

3 º                                                             F 1 z = z e - y - z e - x = - e - x

4 º                                                             F 3 x = x e - x - y e - z = - e - x

5 º                                                           F 2 x = x e - z - x e - y = - e - y

6 º                                                       F 1 y = y e - y - z e - x = - e - y

Vamos ter então

r o t F = - e - z - - e - z , - e - x - - e - x ,   - e - y - - e - y = 0 ,   0 ,   0

Logo essa função é conservativa no domínio da função e onde estamos trabalhando.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então sabemos que a função F tem uma função potencial f . Agora, como a gente encontra ela mesmo? Bem, pela teoria é dessa forma aqui oh:

F = f

Calma! Eu sei que é muita informação. Vamos com calma. Se lembra do gradiente de uma função escalar? Ele é o vetor das derivadas parciais, neh?

f = f x , f y , f z

Então...

F = F 1 ,   F 2 ,   F 3 = f x , f y , f z

Pela igualde a gente só pode ter...

F 1 = f x

F 2 = f y

F 3 = f z

Como queremos encontrar a f (a tal da função escalar potencial), calculamos o inverso, ou seja, a integral...

1 º                 f =     F 1 d x + A y ,   z

2 º                 f =     F 2 d y + B x ,   z

3 º                 f =     F 3 d z + C x ,   y

Cara, veja que quando integramos, não podemos esquecer de adicionar a constante de integração. Mas veja que elas não são bem constantes, ela é constante em relação a quem você está integrando, por exemplo: No primeiro caso

1 º                 f =     F 1 d x + A y ,   z

Aparece uma função A y ,   z que é constante perto de x , mas é uma função em relação as outras variáveis, beleza? Não se esqueça disso heim!

Passo 3

Vamos achar a função f potencial então para a função vetorial. Pegando primeiro a primeira e integrando...

1 º                 f =     F 1 d x + A y ,   z    

e - y - z e - x d x + A y ,   z =

x e - y + z e - x + A y ,   z

Pela segunda igualdade agora...

2 º                 f =     F 2 d y + B x ,   z        

e - z - x e - y d y + B x , z = y e - z + x e - y + B x , z

Indo agora pra última igualdade e também integrando...

3 º                 f =     F 3 d z + C x ,   y        

e - x - y e - z d z + C x , y = z e - x + y e - z + C x , y

Passo 4

Vamo lá, pegando as três integrais que resolvemos e colocando próximas

1 º                     x e - y + z e - x + A y ,   z

2 º                     y e - z + x e - y + B x , z

  3 º                     z e - x + y e - z + C x , y

Agora o nosso trabalho basicamente é reunir esses caras desconsiderando os termos que se repetem...

f x ,   y ,   z =   x e - y + z e - x + y e - z + k

Veja que as funções A , B e C não coloca, mas no lugar delas, coloca uma constante só k que é uma constante real (um número mesmo).

Passo 5

Para nossa integral de linha devemos achar o ponto inicial e o final na curva:

r t = ln 1 + t ln 2 , sin π t 2 , 1 - e t 1 - e ,                 0 t 1

Ela começa em t = 0

r 0 = ln 1 ln 2 , sin π 0 2 , 1 - e 0 1 - e = 0 ,   0 ,   0

E vai terminar em t = 1

r 1 = ln 1 + 1 ln 2 , sin π 2 , 1 - e 1 1 - e = 1 ,   1 ,   1

E a integral vai ficar, já que nos temos uma função potencial

C F d r = f 1 ,   1 ,   1 - f 0 ,   0 ,   0

C F d r = e - 1 + e - 1 + e - 1 + k - 0 + 0 + 0 + k          

C F d r = 3 e - 1 + k - k      

C F d r = 3 e - 1

Resposta

3 e - 1

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