Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2013.1, Questão 3

Calcule a integral de linha da função vetorial F x , y = ( 2 x , cos y + 2 y arctg y ) ao longo da curva C parametrizada por γ θ = ( 1 + sen θ cos θ , 1 + sen θ sen θ ) , θ [ 0 , π ] .

Passo 1

Essa integral não parece muito simples de se calcular pela definição, não é? Vamos calcular o valor de F 2 x - F 1 y para ver se conseguimos simplificar o problema. Temos:

F 2 x = x cos y + 2 y arctg y = 0

F 1 y = y 2 x = 0

Como

F 2 x - F 1 y = 0

Como o campo está definido em todo o R 2 e tem o rotacional igual a zero, sabemos que esse campo é conservativo (a integral independe do caminho).

Nós poderíamos calcular a função potencial, como temos feito até então, mas nos depararíamos com a r c t g   y   d y , que não sabemos integrar. Então, vamos optar por outro caminho: escolher outra curva σ que ligue os pontos inicial e final da curva C e calcular a integral ao longo dessa curva. Para facilitar as contas, vamos escolher o segmento de reta que liga esses pontos.

Lembre-se de que, por Green, temos:

C   F d r + σ _   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y = 0

C   F d r = - σ _   F d r = σ   F d r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiramente, temos que descobrir o ponto inicial e o final de C . Quando:

t = 0   A = 1 + sen 0 cos 0 ,   1 + sen 0 sen 0 ) = ( 1,0 )

t = π   B = 1 + sen π cos π ,   1 + sen π sen π ) = ( - 1,0 )

Passo 3

Vamos, então, parametrizar nossa reta. Temos uma reta que pertence ao eixo x , pois y = 0 sempre (e x varia de 1 a - 1 ). Cuidado com a orientação da curva! Podemos parametrizar então dessa forma: σ = ( x , 0 ) .

A derivada dessa parametrização será σ ' = ( 1,0 ) .

Passo 4

Aplicando tais valores na definição de integrais de linha, temos:

1 - 1 2 x , cos 0 + 2 0 arctg 0 1,0 d x =

= 1 - 1 2 x   d x =

= x 2 1 - 1 =

= 1 - 1 =

Resposta

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