Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2012.2, Questão 2b

Calcule C   f . d r , sobre o caminho C : r t = t , t 2 , t 8 ,   0 t 1 e para o campo escalar f x , y , z = x 2 y z + x z 2 - 2 x y 2 + x - 2 z - 1 s e n   x ;

Passo 1

Bom, pelo Teorema Fundamental do cálculo, nós sabemos que a integral de uma função vetorial F tal que:

F = f

Sobre uma curva com pontos inicial e final ( A ) e ( B ) é dada por:

C   F . d r = f B - f ( A )

Nesse caso, fica simples porque o problema já nos deu o potencial:

f x , y , z = x 2 y z + x z 2 - 2 x y 2 + x - 2 z - 1 s e n   x

Precisamos então descobrir quem são esses pontos inicial e fimal, substituindo t = 0 e t = 1 na parametrização de C :

A = r 0 = ( 0,0 , 0 )

B = r 1 = ( 1,1 , 1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, precisamos achar f A e f B :

f 0,0 , 0 = 0

f 1,1 , 1 = 1 + 1 - 2 + 1 - 0 = 1

Passo 3

Aplicando o Teorema, temos:

C   f . d r = f B - f A = 1 - 0 = 1

Resposta

1

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