Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFPE, Cálculo 3, 1°EE - 2019.1, Questão 3

Considere o campo de vetores

F r = c r r 3

Onde c 0 é uma constante r = x , y . É claro que o domínio de F é R 2 - 0,0 .

(3.1) Mostre que F é conservativo e encontre uma função

f : R 2 - 0,0 R

derivável com derivadas parciais contínuas tal que f = F .

(3.2) Sejam P 1 e P 2 pontos de R 2 - { 0,0 } . Mostre que o trabalho de F para mover um objeto de P 1 para P 2   depende apenas da distancia de P 1 e P 2 ao ponto 0,0 .

Passo 1

Pra começar aqui você precisa perceber que F ( r ) em função de x e y é

F x , y = c ( x , y ) x 2 + y 2 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como

f = f x , f y

f x = c x x 2 + y 2 3

f y = c y x 2 + y 2 3

Então pra encontrarmos o f ( x , y ) calculamos a integral!

c x x 2 + y 2 3   d x

c x x 2 + y 2 3 2   d x

u = x 2 + y 2   e   d u = 2 x   d x d x = d u 2 x

c x u 3 2 . d u 2 x

c 2 1 u 3 2 d u

c 2 - 2 u + K ( y )

- c u + K ( y ) = - c x 2 + y 2 + K ( y )

Passo 3

Agora derivamos f em relação a y .

f y = c y x 2 + y 2 3 + K ' ( y )

Quando a gente compara essa expressão com da derivada parcial de f   em relação a y calculado no começo do Passo 2 percebemos que K ' = 0 , o que significa que K   é simplesmente uma contante, portanto

f ( x , y ) = - c x 2 + y 2 + K

é uma função tal que f = F

Passo 4

(3.2) Se r ( t ) é a parametrização da curva C , onde a integral de linha será calculada em cima, e r a = P 1 e r b = P 2 , então pra calcularmos o trabalho vamos ficar com

C F   d r

a b F r t . r ' t   d t = f P 2 - f ( P 1 )

Agora observa que f P ? = - c d P ? , 0

Onde esse d P ? , 0 é a distancia entre esse Ponto P ? e (0,0), quando ? = 2   e   1 .

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