Exercícios Resolvidos de Função Potencial

CEFET - Cálculo Vetorial - P2 Bassani 2013.1 - 1c

Determine uma função f tal que F = f sendo F   x ,   y = y   i + x + 2 y     j e use este resultado para calcular C   F . d r   sobre a curva definida pela semicircunferência superior que começa em ( 0 ,   1 ) e termina em ( 2 ,   1 ) .

Passo 1

Vamos usar nosso passo a passo para obter a função potencial!

f x = y

Integrando a primeira componente em relação a x vamos ter

f = x y + A y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Derivando a expressão de f que achamos no passo anterior com relação a y , vamos ter

f y = x + d A d y

Pela definição isso, deve ser igual a F 2 , ou seja

x + d A d y = x + 2 y d A d y = 2 y

Integrando vamos ter que A y = y 2 + K

Passo 3

Observa que aqui não surgiu os termos em z . Isso ocorreu porque o campo era bidimensional, dai tudo fica mais fácil né? Assim, a nossa função potencial é

f x , y = x y + y 2 + K

Passo 4

Se F tem potencial, ele é conservativo! Então podemos usar a propriedade

C F d r = f B - f A

C F d r = 2 1 + 1 2 + K - 0 1 + 1 2 + K = 2 + 1 + K - 0 + 1 + K = 2

Resposta

f x , y = x y + y 2 + K

C F d r = 2

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