Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2018.2, Questão 5

Questão 5:

  1. Encontre constantes α e β tais que a integral
  2. C   α y 2 - x y d x + β x 2 - 4 x y d y

    não dependa do caminho de integração.

  3. Para os valores de α e β encontrados acima, calcule a integral do item a onde C é o semicírculo x 2 + y 2 = 1 com y 0 , orientada no sentido horário.

Passo 1

Letra a:

Para que a integral não dependa do caminho, o campo F tem que ser conservativo. De acordo com a teoria, um campo é conservativo quando:

  1. É irrotacional.
  2. O domínio deve ser simplesmente conexo.

No nosso caso, o campo F possui todo o R 2 como um domínio simplesmente conexo, já que α e β são números e F é formado apenas por expressões que “funcionam” bem qualquer ponto do plano:

F = α y 2 - x y ,   β x 2 - 4 x y

Para verificá-la se ele é irrotacional, basta então verificar:

F 2 x - F 1 y = 0

Como F 1 = α y 2 - x y e F 2 = β x 2 - 4 x y , então temos que:

F 2 x - F 1 y = 2 β x - 4 y - 2 α y - x =

2 β + 1 x + - 4 - 2 α y = 0

Para essa expressão ser 0 , considerando que x e y , não são 0 :

2 β + 1 = 0

- 4 - 2 α = 0

Logo...

β = - 1 2                                   e                                 α = - 2

Para esses únicos valores, F é de fato conservativo, ou seja, independe do caminho!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b:

Poxa, já que sabemos que o campo independe do caminho, podemos tirar isso como vantagem para resolver essa letra, não é? SIM!

De acordo com a teoria de campos conservativos, podemos calcular uma integral de linha assim:

A B α y 2 - x y d x + β x 2 - 4 x y d y = f B - f A

Onde f é uma função potencial para o campo F ; A e B são os pontos de início e fim da curva que estamos trabalhando. Então, veja que temos que encontrar esses caras, e a partir daí é só jogar nessa igualdade. Vamos nessa?

Passo 3

Primeiro vamos encontrar a função potencial f da seguinte forma:

F = f

Onde f é o gradiente:

f = f x , f y

Logo, com o campo F = - 2 y 2 - x y ,   - 1 2 x 2 - 4 x y :

- 2 y 2 - x y ,   - 1 2 x 2 - 4 x y = f x , f y

Logo:

- 2 y 2 - x y = f x                       I - 1 2 x 2 - 4 x y = f y               I I

Vamos utilizar essas equações para extrair f . Então partiu!

Passo 4

Primeiro vamos usar a primeira equação diferencial para encontrar f :

f x = - 2 y 2 - x y

“Passando” o " d x " para o outro lado e integrando:

f =     - 2 y 2 - x y   d x

Integrando então com relação a x , então considerando y constante...

f = - 2 y 2 x - y x 2 2 + G y

Essa G y é uma constante de integração, mas ela é uma constante apenas em relação x , pois em relação à y ela é uma função ainda. Faz sentido ela aparecer, pois se você derivar novamente essa função f com relação x , a derivada dessa função G desaparece, então na integral ela ressurge, saca?

Veja então que a gente já descobriu quem é a função potencial f . Basta mesmo saber quem é essa função G y ...

Passo 5

Para encontrar tal função, vamos derivar essa função f aí com relação a y e comparar com a equação diferencial numero 2 ( I I ). Então derivando...

f = - 2 y 2 x - y x 2 2 + G y                

f y = y - 2 y 2 x - y x 2 2 + G y y      

f y = - 4 y x - x 2 2 + G y y

Comparando essa equação com o que temos em I I ...

- 1 2 x 2 - 4 x y = f y               I I

Tiramos que...

G y y = 0

Para isso ser verdade, então G y é uma constante qualquer k :

G y = k

Pois, a derivada de uma constante é sempre 0 . Bem, temos então a nossa função potencial:

f = - 2 x y 2 - y x 2 2 + k

Passo 6

Para encontrar o valor da integral, então, precisamos agora dos pontos A e B . Para isso, devemos nos atentar de que queremos encontrar a integral em cima de C definida por: x 2 + y 2 = 1 com y 0 orientada no sentido horário. Se a gente desenhar essa curva...

Veja que o ponto o ponto inicial dela é A = - 1 ,   0 enquanto que o ponto final B = 1 ,   0 .

Passo 7

Com tudo encontrado então, podemos calcular a integral:

A B α y 2 - x y d x + β x 2 - 4 x y d y = f B - f A

Calculando f A ...

f A = f - 1 ,   0 = - 2 x y 2 - y x 2 2 + k = k

k

Enquanto que f B ...

f B = f 1 ,   0 = - 2 x y 2 - y x 2 2 + k = k

k

Logo:

A B α y 2 - x y d x + β x 2 - 4 x y d y = k - k =

0

Resposta

Letra a ) α = - 2 , β = - 1 2

Letra b ) 0

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