Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2018.2, Questão 2

Questão 2: Seja h : R R uma função escalar de classe C 1 e considere os campos vetoriais

F x ,   y = y 2 h ' x cos y   h x , sin y   h x + y   h x cos y   h x

G x ,   y ,   z = h x e x 2 ,   e y 2 ,   e x 2 + y 2

  1. Sem calcular potenciais, determinar se F e G são conservativos;
  2. Se conservativos, calcular os potenciais de F e G ;
  3. Seja C a circunferência unitária centrada em 0 ,   1 e H o campo vetorial

H x ,   y = y 2 h ' x cos y   h x + y , sin y   h x + y   h x cos y   h x + e x 2 + y 2

Calcular

C   H   d r .

Passo 1

Letra a)

Ouvi conservativo??? Então a primeiríssima coisa que você tem que ver é se o campo funciona em todos os pontos do espaço. Em outras palavras, é verificar se ele é simplesmente conexo!

Pow! Olha para os nossos campos:

F x ,   y = y 2 h ' x cos y   h x , sin y   h x + y   h x cos y   h x

G x ,   y ,   z = h x e x 2 ,   e y 2 ,   e x 2 + y 2

Ambos são formados por expressões que funcionam em todo o plano x y , ainda mais pelo fato de que h é uma função de classe C 1 ! Então sim! Os campos são simplesmente conexos em todo R 2 .

Mas a análise não acabou por aqui, neh? Bora para o último quesito...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O último quesito é verificar se ele é irrotacional. Em termos de matemática no caso do campo F :

F 2 x - F 1 y = 0

Onde F x ,   y = y 2 h ' x cos y   h x F 1 , sin y   h x + y   h x cos y   h x F 2 :

F 2 x = x sin y   h x + y   h x cos y   h x =

cos y   h x y h ' x + y h ' x cos y   h x - h x sin y   h x y   h ' x =

y h ' x cos y   h x + y h ' x cos y   h x - y 2 h x h ' x sin y   h x =

2 y h ' x cos y   h x - y 2 h x h ' x sin y   h x

E...

F 1 y = y y 2 h ' x cos y   h x =

h ' x 2 y cos y   h x - y 2 sin y   h x h x =

2 y h ' x cos y   h x - y 2 h x h ' x sin y   h x

Logo, de fato:

F 2 x - F 1 y = 0

O que torna o campo F conservativo!

Passo 3

Ainda falta verificar o G :

G x ,   y ,   z = h x e x 2 ,   e y 2 ,   e x 2 + y 2

No caso, o rotacional de um campo no espaço é:

r o t G = G 3 y - G 2 z ,   G 1 z - G 3 x ,   G 2 x - G 1 y      

r o t G = e x 2 + y 2 2 y - 0 ,   0 - e x 2 + y 2 2 x ,   0 - 0      

r o t G = 2 y e x 2 + y 2 ,   - 2 x e x 2 + y 2 ,   0

Como o rotacional é diferente de 0 ,   0 ,   0 , o campo G não é conservativo!

Passo 4

Letra b)

No caso devemos calcular o potencial apenas do campo F , já que ele é o único conservativo. De acordo com a Teoria, f é uma função potencial de F se:

F = f  

y 2 h ' x cos y   h x , sin y   h x + y   h x cos y   h x = f x ,   f y  

f x = y 2 h ' x cos y   h x         I

f y = sin y   h x + y   h x cos y   h x         I I

Então partiu resolver essas equações diferenciais!

Passo 5

Primeiro vamos resolver a equação I :

f x = y 2 h ' x cos y   h x          

f = y 2 h ' x cos y   h x   d x

Integrando fazendo uma mudança

y   h x = t

Onde

d t = y h ' x d x

Assim

f = y cos t   d t =

Lembre-se de integrar considerando o y constante:

y sin t + K y =

y sin y   h x + K y

Esse K y é uma constante de integração perante x , mas é uma função da variável que não foi integrada, afinal se derivarmos novamente em relação a x , ela desaparece, logo, na integração ela renasce das cinzas !

Passo 6

Agora vamos encontrar esse K y derivando essa f em relação a y e depois comparando com a segunda equação do Passo 4:

f = y sin y   h x + K y              

f y = y y sin y   h x + K y =

y y sin y   h x + y K y =

sin y   h x + y cos y   h x h x + y K y

Comparando com...

f y = sin y   h x + y   h x cos y   h x         I I

Chegamos à conclusão que:

y K y = 0

Logo a função K y é uma constante real qualquer...

K y = k

E concluímos que a função potencial de F :

f = y sin y   h x + k

Passo 7

Letra c)

Vamos considerar:

H x ,   y = y 2 h ' x cos y   h x + y , sin y   h x + y   h x cos y   h x + e x 2 + y 2 =

y 2 h ' x cos y   h x , sin y   h x + y   h x cos y   h x + y ,   e x 2 + y 2 =

F x ,   y + I x ,   y

Então:

C   H   d r = C   F x ,   y   d r + C   I x ,   y   d r

Vamos então calcular essas duas integrais nos próximos passos !

Passo 8

Com relação a integral de linha de F , sabemos que F é conservativo, então:

C   F x ,   y   d r = f B - f A

Onde B é o ponto final da curva C e o A o ponto inicial. Como a curva C é uma circunferência de raio unitário e centrada no ponto 0 ,   1 :

O ponto inicial A = 0 ,   2 e o ponto final B = 0 ,   2 são os mesmos, então:

C   F x ,   y   d r = f B - f A = 0

Passo 9

Agora, com relação a integral de I ...

C   I x ,   y   d r

Temos que calcular do jeito tradicional:

  1. Parametrizar a curva:
  2. x = cos t

    y = 1 + sin t

    Logo

    α t = cos t ,   1 + sin t ,       c o m       0 t 2 π

  3. Calcular o termo d s :
  4. d r = α ' t d t    

    d r = - sin t , cos t     d t  

  5. Substituir os termos da parametrização:

I x ,   y = y ,   e x 2 + y 2      

I α t = 1 + sin t ,   e cos 2 t + 1 + sin t 2      

I α t = 1 + sin t ,   e cos 2 t + 1 + 2 sin t + sin 2 t      

I α t = 1 + sin t ,   e 1 + 2 sin t + 1      

I α t = 1 + sin t ,   e 2 + 2 sin t      

C   I x ,   y   d r = 0 2 π 1 + sin t ,   e 2 + 2 sin t   - sin t , cos t d t =

0 2 π - sin t - sin 2 t + cos t e 2 + 2 sin t d t =

0 2 π - sin t d t + 0 2 π - sin 2 t d t + 0 2 π cos t e 2 + 2 sin t d t =

cos t 0 2 π - 0 2 π sin 2 t d t + 0 2 π cos t e 2 + 2 sin t d t

No caso da segunda integral, podemos fazer:

sin 2 t = 1 - cos 2 t 2

0 2 π sin 2 t d t = 0 2 π 1 2 - cos 2 t 2 d t =

1 2 t - sin 2 t 4 0 2 π = π

No caso da terceira integral:

0 2 π cos t e 2 + 2 sin t d t

Podemos integrar 2 + 2 sin t = x ,

d x = 2 cos t d t       o u     cos t d t = d x 2

t = 0                 x = 2

t = 2 π               x = 2

Logo:

0 2 π cos t e 2 + 2 sin t d t = 0

Então:

C   I x ,   y   d r = cos t 0 2 π - 0 2 π sin 2 t d t + 0 2 π cos t e 2 + 2 sin t d t  

C   I x ,   y   d r = 0 - π + 0 = - π

Resposta

Letra a)

F   é   c o n s e r v a t i v o

Q   n ã o   é   c o n s e r v a t i v o

Letra b)

f = y sin y   h x + k

Letra c)

C   I x ,   y   d r = - π

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