Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2011.2, Questão 2

Seja o campo vetorial:

F x , y , z = 2 x z + y 2 , 2 x y + 3 y 2 , e z + x 2

Verifique se F é conservativo e calcule:

C   F d r

Onde C é a curva dada pela interseção da superfície:

z = 9 - x 2 - y 2

z > - 4

Com o plano:

y = 2

(Oriente C de forma que a coordenada x seja crescente).

Passo 1

O campo é de classe C definido em todo R 3 . O rotacional é dado por:

r o t F = 0 - 0,2 x - 2 x , 2 y - 2 y

r o t F = ( 0,0 , 0 )

E portanto o campo é conservativo sim.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A interseção das curvas é dada por:

z = 5 - x 2

Com y = 2 . Os extremos da curva C ocorrem quando z = - 4 e, portanto, x = ± 3 .

Seguindo a orientação proposta no enunciado, temos que o ponto inicial A é dado por:

A = ( - 3,2 , - 4 )

E o ponto final B é:

B = 3,2 , - 4

Vamos utilizar a curva γ que corresponde ao segmento de reta que liga A até B , que parametrizada por:

σ t = ( t , 2 , - 4 )

t - 3,3

Passo 3

Então temos que:

σ ' t = 1,0 , 0

O campo F , com a parametrização da curva, fica escrito como:

F x , y , z = 2 x z + y 2 , 2 x y + 3 y 2 , e z + x 2

F = 2 t - 4 + 2 2 , 2 t 2 + 3 2 2 , e - 4 + t 2

F = - 8 t + 4,4 t + 12 , , e - 4 + t 2

Portanto:

C   F d r = γ   F d r =     F x t , y t , z t σ ' t   d t

Substituindo:

γ   F d r = - 3 3 - 8 t + 4   d t

γ   F d r = 24

Resposta

C   F d r = 24

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