Exercícios Resolvidos de Função Potencial

USP, Cálculo 3, P2 - 2010, Questão 1b

Seja F x , y = y 2 cos x + e x ,   y 3 + 2 y   s e n   x

  1. Mostre que F é conservativo.
  2. Calcule γ   F . d r , onde γ t = t 3 , s e n 2   a r c t g   t 2 ,   t 0,1 .

Passo 1

Item (i)

Bom, a gente poderia começar calculando o rotacional desse campo, na verdade, apenas o termo F 2 x - F 1 y porque só temos 2 coordenadas. Mas repara que o problema pediu para a gente provar que (não se) o campo é conservativo e depois calcular a integral de linha que ele pede.

Logo, já sabemos que ele é conservativo. Claro, calcular o rotacional prova isso, mas calcular a função potencial do campo também. E isso, já vamos fazer de qualquer forma para calcular a integral de linha, então não vamos perder tempo, vamos calcular a função potencial direto né.

Vamos calcular f então, temos:

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y ,   z

Temos então o seguinte:

y 2 cos x + e x ,   y 3 + 2 y   s e n   x = f x ,   f y

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

f x = y 2 cos x + e x f x , y = y 2 s e n   x + e x + M ( y )

f y = y 3 + 2 y   s e n   x f x , y = y 4 4 + y 2 s e n   x + P ( x )

Comparando as equações, vemos que:

M y = y 4 4

P x = e x

O que nos dá

f x , y = y 2 s e n   x + e x + y 4 4 + k

Como encontramos uma função potencial, o campo é conservativo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Item (ii)

Bom, se o campo é conservativo, podemos calcular a integral de linha que o problema pede usando sua função potencial, não é?

Pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

γ   F . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva γ é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

Para descobrir os pontos A e B , precisamos substituir t = 0 e t = 1 na parametrização da curva:

γ 0 = 0 , s e n 2   a r c t   0 = ( 0,0 )

γ 1 = 1 , s e n 2   a r c t g   1 = 1,1

Agora é só calcular f ( A ) e f ( B ) .

f 0,0 = 0 + 1 + 0 + k = 1 + k

f 1,1 = 1 s e n   1 + e + 1 4 + k = s e n   1 + e + 1 4 + k

Logo,

γ   F . d r = f B - f ( A )

γ   F . d r = s e n   1 + e + 1 4 + k - ( 1 + k )

= s e n   1 + e - 3 4

Resposta

  1. s e n   1 + e - 3 4

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