Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UNICAMP, Cálculo 2, P3 - 2010.2 - 5ª Noturno, Questão 3

Sejam A = ( 3,0 ) , B = ( 1,1 ) e C = ( 0,3 ) pontos de R 2 e γ a trajetória que vai em linha reta de A até B e em seguida de B até C . Determine o trabalho ao longo de γ do campo de forças

F : R 2 R 2

x , y F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2

Passo 1

Bom, o que o problema pede é

γ   F . d r

Vamos começar calculando o termo:

F 2 x - F 1 y

Porque? Se você reparar, as componentes do campo são muito parecidas, o que significa que o seu rotacional pode ser zero. Se isso acontecer, podemos resolver o problema por função potêncial, não é? Em vez de calcular a integral pela definição.

Lembrando que, em duas dimensões, o rotacional de um campo de resume a F 2 x - F 1 y .

Bom, temos;

F 2 x - F 1 y = 1 x 2 + y 2 - x 2 x x 2 + y 2 2 + 1 x 2 + y 2 - y 2 y x 2 + y 2 2

F 2 x - F 1 y = 2 x 2 + 2 y 2 - 2 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2 = 0

Pronto, provamos que o campo é conservativo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, como o campo é conservativo, podemos calcular a integral de linha que o problema pede usando sua função potencial.

Só que tem um problema, calcular a função potencial desse campo envolve integrar essas frações que definem o campo vetorial, o que deve dar um pouco de trabalho.

Ok, vamos pensar um pouquinho aqui então, que outra vantagem o campo conservativo nos dá? Se podemos usar função potencial, quer dizer que a integral de linha independe do caminho, ou seja, podemos escolher o caminho que quisermos.

Interessante isso aí... O problema diz que a trajetória que vai em linha reta de A até B e em seguida de B até C , onde

A = ( 3,0 )

B = ( 1,1 )

C = ( 0,3 )

Graficamente:

Mas, como o campo é conservativo, só importam os pontos inicial e final da trajetória, portanto, ( 3,0 ) e ( 0,3 ) . Podemos, então, escolher qualquer outro caminho que ligue esses dois pontos e que seja mais conveniente para nós.

Podemos simplesmente ligar esses pontos? Claro, mas isso não vai nos ajudar aqui, vamos pensar um pouquinho mais. Vamos escolher esse caminho aqui em azul e você já vai entender o porquê:

Assim, sendo γ a trajetória do enunciado (em vermelho) e C a trajetória que criamos (em azul), temos:

γ   F . d r = C   F . d r

Passo 3

Como a trajetória c tem duas partes, vamos chamar o segmento horizontal de c 1 e o vertical de c 2 , ok?

γ   F . d r = C 1   F . d r + C 2   F . d r

Assim, podemos escrever:

γ   F . d r = a b F x t ,   y t c 1 ' t d t + c d F x t ,   y t c 2 ' t d t

Vamos, então, parametrizar c 1 e c 2 .

Como c 1 pertence à reta y = 0 (o eixo x ), podemos usar a parametrização:

c 1 x = ( x , 0 )

Pela figura, já vemos que x varia de 3 até 0 (nesse sentido!).

c 2 é ao contrário, pertence ao eixo y , ou seja, x = 0 . Logo, temos:

c 2 y = ( 0 , y )

Pela figura, vemos que y varia de 0 até 3 .

Passo 4

Agora calculamos as derivadas:

c 1 ' x = d ( x ) d x ,   d ( 0 ) d x = ( 1,0 )

c 2 ' y = d ( 0 ) d y ,   d ( y ) d y = ( 0,1 )

Passo 5

Vamos, então, substituir o que encontramos na integral e escrever o campo em função do parâmetro.

O campo é dado por

F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2

Aplicando s parametrizações

c 1 x = ( x , 0 )

c 2 y = ( 0 , y )

Temos

γ   F . d r = 3 0 0 , x x 2 ( 1,0 ) d x + 0 3 - y y 2 , 0 ( 0,1 ) d y

Viu que, usando os segmentos paralelos aos eixos x e y , conseguimos zerar bastante coisa nas integrais? Os vetores têm sempre uma componente nula, o que facilita muito nossos cálculos!

Obs: Esses intervalos de integração são os que encontramos nas parametrizações, ok?

Beleza, vamos fazer esses produtos escalares:

γ   F . d r = 3 0 0 d x + 0 3 0 d y

γ   F . d r = 0

Opa, deu zero de cara, nem precisamos calcular as integrais então aqui!

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