Exercícios Resolvidos de Função Potencial

USP, Cálculo 3, P2 - 2013, Questão 3

  1. Verifique que o campo vetorial em R 3
  2. F x , y , z = 2 x cos y + y z ,   x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z ,   x y + 2 y π cos z

    É conservativo e determine um potencial para F .

  3. Calcule a integral de linha

γ   2 x cos y + y z d x + x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z d y + x y + 2 y π cos z d z

o n d e   γ   é   a   c u r v a x = 2 e t 2 - 1 arctan t     y = π t 2 ,             0 t 1 z = 1 - t 4                                    

Passo 1

Letra a)

Vamos calcular o rotacional desse campo:

r o t F = ×   F = i j k x y z F 1 F 2 F 3 = F 3 y - F 2 z ,   F 1 z - F 3 x ,   F 2 x - F 1 y

r o t F = x - 2 π cos z - x + 2 π cos z ,   y - y ,   z - 2 x   s e n   y + 2 x   s e n   y - z = ( 0,0 , 0 )

Pronto, provamos que o campo é conservativo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular a função potencial desse campo. Você tambem pode provar que o campo é conservativo calculando sua função potencial direto, a escolha é sua!

Vamos lá, temos:

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y ,   z

Temos então o seguinte:

2 x cos y + y z ,   x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z ,   x y + 2 y π cos z = f x ,   f y ,   f z

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

f x = 2 x cos y + y z f x , y , z = x 2 cos y + x y z + M ( y , z )

f y = x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z   f x , y , z = x y z + x 2 cos y + 2 y π s e n   z + P ( x , z )

f z = x y + 2 y π cos z   f x , y , z = x y z + 2 y π s e n   z + Q ( x , y )

Comparando as equações, vemos que:

f x , y , z = x 2 cos y + x y z + 2 y π s e n   z + k

Ou seja:

M y , z = 2 y π s e n   z

P x , z = 0

Q x , y = x 2 cos y

Passo 3

Letra b)

Agora o problema nos pede a integral de linha

γ   2 x cos y + y z d x + x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z d y + x y + 2 y π cos z d z

E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

γ   F . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva γ é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial. Como o problema define a curva assim:

  γ = x = 2 e t 2 - 1 arctan t     y = π t 2 ,             0 t 1 z = 1 - t 4                                    

O ponto A corresponde a t = 0 , que nos dá

A = ( 0 ,   0 ,   1 )

Para B , temos t = 1 :

π 2 , π 2 , 0

Passo 4

Agora é só calcular f ( A ) e f ( B ) :

f 0,0 , 1 = 0 + k

f π 2 , π 2 , 0 = 0 + 0 + 0 + k

Logo,

γ   F . d r = 0 - 0 = 0

Resposta

  1. f x , y , z = x 2 cos y + x y z + 2 y π s e n   z + k
  2. 0

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