Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

Elaboração Própria

Sejam as seguintes funções

f x = 5 x x > 0 x 2 - 1 x 0

E

g x = x 2 + 2 x + 3 x > 0 3 x + 4 x 0

Determine as seguintes funções compostas, f g x e g f x

Passo 1

Ele quer aquelas duas funções compostas, como vamos fazer isso? Primeiro vamos ver a primeira função f g x , tá lembrado como faz isso?

f g x = f g x

Então preciso pegar a g e “colocar dentro” da f . Beleza, mas as funções são separadas em partes, e agora? Temos dois intervalo, certo? Então é só fazer a composta em cada pedaço do intervalo. Assim vamos ter a composta separada em intervalos também.

Vamos fazer a composta para x > 0 e para x 0 e depois é só correr pro abraço!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar fazendo a parte de x > 0 , então vamos ter

f g x = f g x

Substituindo a fórmula de g x nesse intervalo, vamos ter

f g x = f x 2 + 2 x + 3

Trocando o valor de f agora, vamos ter

f g x = 5 x 2 + 2 x + 3

f g x = 5 x 2 + 10 x + 15

E achamos a composta no primeiro pedaço.

Passo 3

Vamos agora para o outro intervalo, x 0

f g x = f g x

Substituindo a fórmula de g x nesse intervalo, vamos ter

f g x = f 3 x + 4

Trocando o valor de f agora, vamos ter

f g x = 3 x + 4 2 - 1

f g x = 9 x 2 + 24 x + 16 - 1

f g x = 9 x 2 + 24 x + 15

Assim a nossa função composta vai ficar

f g x = 5 x 2 + 10 x + 15 x > 0 9 x 2 + 24 x + 15 x 0

Passo 4

Vamos agora fazer a outra função composta, g f x . Essa função vai ser na verdade

g f x = g f x

De novo temos que fazer nos intervalos, vamos começar com x > 0 , começando trocando o valor de f

g f x = g 5 x

Trocando o valor de g agora, vamos ter

g f x = 5 x 2 + 2 5 x + 3

g f x = 25 x 2 + 10 x + 3

Passo 5

Vamos agora para o outro intervalo, x 0

g f x = g f x

Substituindo a fórmula de f x nesse intervalo, vamos ter

g f x = g x 2 - 1

Trocando o valor de g agora, vamos ter

g f x = 3 x 2 - 1 + 4

g f x = 3 x 2 - 3 + 4

g f x = 3 x 2 + 1

Assim a nossa função composta vai ficar

g f x = 25 x 2 + 10 x + 3 x > 0 3 x 2 + 1 x 0

E como falei, agora é só correr pro abraço!

Resposta

f g x = 5 x 2 + 10 x + 15 x > 0 9 x 2 + 24 x + 15 x 0

g f x = 25 x 2 + 10 x + 3 x > 0 3 x 2 + 1 x 0

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