Exercícios Resolvidos de Funções Spline

Elaboração Própria

Dados x 0 = 0 , x 1 = π 4 , x 2 = π 2 , x 3 = 3 π 4 , encontre a função spline linear interpolante para f x = 2 sin x . Utilize a função spline calculada para aproximar

0 3 π 4 2 sin x d x

e calcule o erro cometido.

Passo 1

Calculando o valor da função nos pontos dados:

f x 0 = f 0 = 2 sin 0 = 0

f x 1 = f π 4 = 2 sin π 4 = 2

f x 2 = f π 2 = 2 sin π 2 = 2

f x 3 = f 3 π 4 = 2 sin 3 π 4 = 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando a fórmula nos intervalos:

x 0 , x 1 :

s 1 x = f x 0 x 1 - x x 1 - x 0 + f x 1 x - x 0 x 1 - x 0 = 4 2 x π = 1.8 x

x 1 , x 2 :

s 2 x = f x 1 x 2 - x x 2 - x 1 + f x 2 x - x 1 x 2 - x 1 = 8 - 4 2 x π + 2 2 - 1 = 0.746 x + 0 . 828

x 2 , x 3 :

s 3 x = f x 2 x 3 - x x 3 - x 2 + f x 3 x - x 2 x 3 - x 2 = 4 x 2 - 2 π - 2 2 + 6 = 3.1716 - 0.746 x

Passo 3

Juntando tudo temos:

S 1 x = 1.8 x ,       x 0 , π 4 0.746 x + 0.828 ,       x π 4 , π 2 3.1716 - 0.746 x ,       x π 2 , 3 π 4

Passo 4

A integral vai ficar:

0 3 π 4 S 1 x d x = 0 π 4 1.8 x   d x + π 4 π 2 0.746 x + 0.828   d x + π 2 3 π 4 3.1716 - 0.746 x   d x =

= 0.9 π 4 2 + 0.373 π 2 2 - π 4 2 + 0.828 π 2 - π 4 + 3.1716 3 π 4 - π 2 - 0.373 3 π 4 2 - π 2 2 = 3.2363

Passo 5

O valor exato da integral é:

0 3 π 4 2 sin x d x = - 2 cos x     3 π 4   0   = 2 + 2 = 3.4142

Então o erro vale:

E A = 3.4142 - 3.2363 = 0.1779

Resposta

0 3 π 4 2 sin x d x 0 3 π 4 S 1 x d x = 3.2363

E A = 0.1779

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