Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G4 - 2015.2, Questão 3d

Calcule:

sen ln x d x

Passo 1

Essa aqui não tem muito para onde fugir, a única técnica que se encaixa é a integração por partes que terá: u = sen ln x v = x d u = cos ln x x d x d v = d x

Sendo a fórmula geral:

u d v = u v - v d u

Substituindo: sen ln x d x = x sen ln x - cos ln x d x

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Passo 2

Oxê, mas a integral que sobrou é tão difícil quando a inicial! Calma, jovem, vamos aplicar a integração por partes novamente para a nova integral:

u = cos ln x v = x d u = - sen ln x x d x d v = d x

Ficando:

cos ln x d x = x cos ln x + sen ln x d x

Voltamos a estaca zero, ou será que não?

Passo 3

Vamos substituir a expressão na primeira integração por partes:

sen ln x d x = x sen ln x - x cos ln x - sen ln x d x

Isolando a integral:

sen ln x d x = 1 2 x sen ln x - cos ln x + C

Não podemos esquecer do C !

Resposta

sen ln x d x = 1 2 x sen ln x - cos ln x + C

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