Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2013.1, Questão 3ii

Calcule as integrais abaixo

0 π / 2 e x s e n x d x

Passo 1

Vamos usar o passo a passo da integração por partes, resolver a integral para, então, substituir os limites de integração:

Pelo LIATE, escolhemos a o u sendo o sen x :

u = sen ( x )     ( t r i g o n o m é t r i c a ) d v = e x d x       ( e x p o n e n c i a l )

O que gera:

d u = cos ( x ) d x v = e x

Agora é só fazer u d v = u v - v d u

e x sen ( x ) d x = e x sen ( x ) - e x cos ( x ) d x

Iremos ter que usar a integral por partes de novo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos chamar I = e x cos ( x ) d x .

Vamos calcular I pelo método da integração por partes. Do seguinte modo:

u = cos ( x ) d u = - sen ( x ) d x d v = e x d x v = e x

I = e x cos x - - e x sen x d x

I = e x cos ( x ) + e x sen x d x

Passo 3

Então, substituindo I :

e x sen x d x = e x sen x - I

e x sen x d x = e x sen x - e x cos ( x ) + e x sen x d x

Ora, apareceu a mesma integral que queríamos calcular no início do problema. Quando isso acontece, temos que utilizar a técnica de imaginá-la como uma variável. Assim (passando para o outro lado):

e x sen x d x + e x sen x d x = e x sen x - e x cos x

2 e x sen x d x = e x sen x - e x cos ( x )

e x sen x d x = 1 2 e x sen x - e x cos x + C

Passo 4

Agora substituímos os limites de integração:

1 2 e x sen x - e x cos x [ π 2 0

= 1 2 e π 2 sen π 2 - e π 2 cos π 2 - 1 2 e 0 sen 0 - e 0 cos 0

= 1 2 e π 2 1 - e π 2 0 - 1 2 1 0 - 1 1

= 1 2 e π 2 + 1 2 = 1 2 e π 2 + 1

Resposta

0 π / 2 e x sen x d x = 1 2 e π 2 + 1

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