Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2018.1, Questão Q02a

a) Calcule as integrais indefinidas:

x 3 e - x 2   d x

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que pensar é: como que eu posso sumir com aquela potência de x multiplicando e ? Bem, dá uma olhada em cima do e : outra potência de x ! Saca só o poder de uma substituição simples aqui:

u = - x 2

Então:

d u d x = - 2 x

d x = - d u 2 x

Aplicando à integral, ficamos com:

x 3 e - x 2   d x = x 3 e u   - d u 2 x = - 1 2 x 2 e u   d u

Peraí, mas temos u e x na integral! E agora? Calma gafanhoto, veja bem, o x que sobrou foi exatamente uma potência x 2 , que vai ser nada mais nada menos que u . A integral fica então:

- 1 2 x 2 e u   d u = - 1 2 - u e u   d u = 1 2 u   e u   d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora borá integrar em relação à u . A integral a ser calculada é:

1 2 u   e u   d u

Puts, trocamos potência de x por potência de u multiplicando e . Mas veja só: é um u só, multiplicando e u   , uma função que tem integral e derivada em relação à u igual! Isso cheira a integral por partes! Fazendo então:

f = u d f = d u

e u   d u = d g g = e u  

Seja:

f d g = f g - g d f

Temos então:

1 2 u   e u   d u = 1 2 u   e u   -   e u   d u = 1 2 u   e u   - e u   = e u   2 u - 1

E fechamos! Só voltar pra variável x agora, como:

u = - x 2

Vamos ter então:

x 3 e - x 2   d x = - e - x 2 2 x ² + 1 + C

Resposta

x 3 e - x 2   d x = - e - x 2 2 x ² + 1 + C

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