Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Prova Cálculo B MAT1158 P2

Calcule a integral

∫ e 2 x cos ⁡ e x d x

Passo 1

Vamos rever algumas coisas. A primeira dela é a integração por partes. Então será que vocês aprenderam a regra do L I A T E ?

L ogaritimo, I nversa trigonométrica, A lgebrica, T rigonométrica, E xponencial

Essa é a ordem para escolhemos a variável u em nossa relação de integração por partes que é dada por

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v   d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

É uma integral interessante, mas podemos resolver hahaha... claro que podemos né, se não não estaríamos aqui hahaha.

Então vamos primeiramente olhar para nossa integral e reescrer nossa função como

e 2 x cos ⁡ e x = e x e x cos ⁡ e x

Agora fazemos t = e x que implica que d t = e x d x → d x = d t / t

Assim nossa integral se transforma em

∫ e 2 x cos ⁡ e x d x = ∫ t 2 cos ⁡ t d t t = ∫ t cos ⁡ ( t )   d t

E agora parece mais tranquila, não?

Passo 3

Agora aplicando LIATE, temos que

t = u

cos ⁡ t d t = d v

O que nos leva

d t = d u

s e n t = v

Assim mais uma vez nossa integral sobre uma digevolução

∫ t cos ⁡ t d t = t   s e n   t - ∫ s e n   t d t = t   s e n   t - - cos ⁡ t

= t   s e n t + c o s ⁡ ( t )

Que voltando nossas variáveis, nos leva em

∫ e 2 x cos ⁡ e x d x = e x s e n e x + cos ⁡ e x

E lembrando que toda vez que esquecemos a constante em nossas integrais indefinidas, matamos um gatinho, por favor, não mate o gatinho.

∫ e 2 x cos ⁡ e x d x = e x s e n e x + cos ⁡ e x + C

Resposta

∫ e 2 x cos ⁡ e x d x = e x s e n e x + cos ⁡ e x + C

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