Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2014.2, Questão 1 b_1

b Calcule as seguintes integrais:

b 1   e x d x

Passo 1

Esse expoente aí complica bastante, certo? Vamos forçar uma substituição dele:

y = x d y = d x 2 x

Agora, se d y = d x 2 x e y = x , podemos dizer que d x = 2 y   d y . Vai ficar assim:

e x d x = e y 2 y   d y = 2 e y y   d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sobrou só essa integral aí, mistura de exponencial e polinômio, que sai tranquilamente por partes. Pelo LIATE o u é a algébrica.

u = y d u = d y

d v = e y d y v = e y

e y y   d y = y e y - e y d y

= y e y - e y

Agora é só voltar para a fórmula do passo 1 :

e x d x = 2 e y y   d y = 2 e y y - 1

= 2 e x x - 1

Resposta

e x d x = 2 e x x - 1 + C

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