Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2012.2, Questão 1d

Considere a região plana S definida por

S = x , y R 2 - e x y e x ,   0 x 2

d) Calcule a área da região plana:

S ~ = x , y R 2 0 y e x , 0 x 2 ,   x - 1 2 + y 2 1

Passo 1

d) Cálculo de área? Integral dupla! Mas, antes, vejamos bem nossa região:

S ~ = x , y R 2 0 y e x , 0 x 2 ,   x - 1 2 + y 2 1

Percebe que ela é parecida com a região S , a diferença é que estamos apenas na parte positiva do eixo y , ou seja, ela teria metade da área para e x y e x ! E essa região seria dada por:

Mas, infelizmente, temos esse terceiro termo aí nos atrapalhando :/

Vamos dar uma olhada nele?

x - 1 2 + y 2 1

Se o sinal fosse de “igual”, essa seria a equação de uma circunferência centrada em 1,0 , com raio 1 , certo? Mas, no caso, o sinal diz que o que está do lado direito é maior que esse raio, então estamos na região fora da circunferência! E ainda temos que, como o raio é 1 , o diâmetro é 2 , e ela começa e termina certinho onde começa e termina a restrição do x , entre 0 e 2 !

Então, a região que pede-se a área é:

Show? E agora, consegue me dizer qual é o valor dessa área? Antes, sem essa bolota, tínhamos a metade da área de S , que pode ser calculada por:

Á r e a S = 0 2 - e x e x d y d x =

0 2 e x - - e x d x

2 e x 0 2 =

2 e 2 - 2

Então, tínhamos e 2 - 1 . Agora, além de ter perdido essa metade de área, perdemos mais meio disco de raio 1 ! Assim, temos menos metade de π r 2 , ou seja, menos π . 1 2

Portanto, a área da região S ~ é e 2 - 1 - π 2 :D

A gente poderia encontrar a área da região S ~ direto por integral dupla, só que ia ser beeeem mais complicado. Como é bem tranquilo achar a área de um semicírculo sem precisar integrar fica mais fácil achar a área de S / 2 e tirar a área do semicírculo 😉

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Resposta

d) Á r e a S ~ = e 2 - 1 - π 2

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