Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2013.2, Questão 1

Considere as regiões planas

R 1 = x , y R 2 x 2 + y 2 2

R 2 = x , y R 2 x 0 ,   y 0

R 3 = x , y R 2 x y 2

Seja

R = R 1 R 2 R 3

  1. Esboce a região R 1 e identifique sua fronteira como uma curva clássica (ou seja, forneça seu nome e sua equação)
  2. Esboce o interior da região R 2 e determine-o através de desigualdades.
  3. Esboce a região R 3 e identifique sua fronteira como uma curva clássica (ou seja, forneça seu nome e sua equação)
  4. Esboce a região R e, em seguida, descreva-a no seguinte formato:

R = x , y R 2 a y b ,   f y x g y

Explicitando as constantes reais a e b e as funções f e g .

Passo 1

a )

A região R 1 é uma circunferência lembra? A fórmula geral de uma circunferência é

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Nesse caso

x 0 , y 0 = 0,0

r 2 = 2 r = 2

O seu gráfico fica

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Repara que agora ele quer todos os pontos que x e y são maiores ou iguais a 0 . A parte de dentro vai ser aquela que não tem o igual, ou seja,

x , y R 2 x > 0 ,   y > 0

E seu gráfico vai ser pintar o primeiro quadrante do plano cartesiano

Precisa desse tracejado porque ele não está incluindo quando temos y = 0 ou x = 0

Passo 3

c )

Isso é uma parábola, só que ela está com o eixo de simetria no eixo x , ela está tortinha tá vendo?

Passo 4

Vamos agora fazer essa zona toda junta

Se quisermos escrever da forma que ele disse podemos ver que o valor de y vai de 0 até o seu valor quando a circunferência e a parábola se cortam. Vamos calcular esse ponto substituindo o valor de y na circunferência.

x = y 2

Colocando isso na circunferência

x 2 + x = 2

x 2 + x - 2 = 0

x 1 = 1

x 2 = - 2

Como podemos ver o único que serve é o x 1

Então o valor de y que eles se encontram é

y 2 = 1

y = 1

Porque o y > 0 , então temos

0 y 1

Passo 5

Vamos agora aos limites de x , pela figura o valor de x vai da parábola à circunferência.

Então ele vai de

x = y 2

Até

x 2 + y 2 = 2

x 2 = 2 - y 2

x = 2 - y 2

Repara que peguei o positivo porque estamos pegando valores de x > 0

Então

y 2 x 2 - y 2

Então

R = x , y R 2 0 y 1 ,   y 2 x 2 - y 2

Resposta

  1. Circunferência
  2. x , y R 2 x > 0 ,   y > 0
  3. parábola

R = x , y R 2 0 y 1 ,   y 2 x 2 - y 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas