Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

Esboce a região D como uma região do tipo I e do tipo I I . Escreva as integrais possíveis e use uma delas para resolver

∬ D   x d A

Onde D é limitada pelas retas y = x , y = 0 e x = 1

Passo 1

A questão pede pra gente escrever a região nos dois tipos, certo? Antes disso, vamos ver um esboço do que estamos tratando, sem pensar em tipo nenhum

Ta beleza, o esboço é esse aí, onde a reta azul é y = x , a reta vermelha é y = 0 e a reta verde é x = 1 .

O que precisamos ver agora é a diferença entra as regiões do tipo I e do tipo I I . No primeiro caso, y varia em funções de x , ou seja

f 1 x ≤ y ≤ f 2 x

a ≤ x ≤ b

É como se tentássemos olhar a região de baixo pra cima! Com y sendo limitado por x .

No caso do tipo I I , tem uma sutil diferença, x é quem é limitado por funções de y , assim olha

g 1 y ≤ x ≤ g 2 y

m ≤ y ≤ n

É como se tentássemos olhar a região da esquerda para a direita!

Olha essa imagem aqui se não ajuda

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ah, beleza então, agora é só escrever as regiões! Vamos começar pela do tipo I ...

Vemos que na primeira imagem, y é limitado em baixo por y = 0 e em cima por y = x , portanto

0 ≤ y ≤ x

Pronto, estão definidos os limites das funções! Agora é só entre que valores - isso mesmo, constantes! – nas quais x varia.

Nesse caso ele vai de 0 a 1 , portanto

0 ≤ x ≤ 1

Passo 3

Vamos agora para a região do tipo I I

Vemos na segunda imagem que a região é limitada na esquerda por x = y e na direita por x = 1 , portanto

y ≤ x ≤ 1

Agora é a mesma ideia, só ver entre que valores y varia.

Nesse caso ele vai de 0 a 1 também, mas nem sempre é assim, toma cuidado!

0 ≤ y ≤ 1

Pronto! Estão definidas as regiões =D

Passo 4

Agora temos que escrever as integrais possíveis! Vamos ficar com o seguinte:

∬ D x d A = ∫ 0 1 ∫ y 1 x d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x

Vamos resolver a segunda:

∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x = ∫ 0 1 x y 0 x d x = ∫ 0 1 x 2 d x = x 3 3 0 1 = 1 3

Resposta

∬ D x d A = ∫ 0 1 ∫ y 1 x d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x = 1 3

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