Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G3 - 2015.2, Questão 1d

Calcule a integral:

2 1 x ln x 2 d x

Passo 1

Vamos primeiro transformar esse intervalo num limite, para facilitar tudo:

2 1 x ln x 2 d x = lim a 2 a 1 x ln x 2 d x

Vamos nos concentrar agora na integral e aplicar o limite depois de resolvê-la.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a integral, podemos fazer a substituição u = ln x , ficando com:

u = ln x d u = 1 x d x u m i n = ln 2 ,       u m a x = ln a

Ficando:

2 a 1 x ln x 2 d x = ln 2 ln a 1 u 2 d u = - u - 1 2 a = 1 ln 2 - 1 ln a  

Passo 3

Uma vez calculada a integral, voltamos ao limite:

lim a 2 a 1 x ln x 2 d x = lim a 1 ln 2 - 1 ln a = 1 ln 2 - l i m a 1 ln a = 1 ln 2  

Onde:

l i m a 1 ln a = 0

Pois ln a tende a infinito quando a tende a infinito e teremos 1 divido por um número cada vez maior que levará a fração a tender a zero.

Resposta

2 1 x ln x 2 d x = 1 ln 2  

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