Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 7, Questão 32

Discuta a convergência da integral imprópria.

1 sen x x d x

(Use integração por partes na 1 t sen x x d x   e depois passe o limite quando t )

Passo 1

Vamos integrar por partes usando:

u = 1 x d u = - 1 x 2 d x d v = sen x d x v = - cos x

É o famoso LIATE, 1 x é Algébrica e sen x é Trigonométrica.

Enfim, temos:

1 t sen x x d x = - cos x x 1 t - 1 t - cos x - x 2 d x

= - cos t t + cos 1 - 1 t cos x x 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tomando o limite:

lim t - cos t t + cos 1 - 1 t cos x x 2 d x = 0 + cos 1 - 1 cos x x 2 d x

Então agora temos que analisar a convergência da integral imprópria

1 cos x x 2 d x

Passo 3

E essa é bem mais fácil que a integral que tínhamos no começo. Isso porque podemos compará-la com:

1 1 x 2 d x

Que converge! Saca só:

1 1 x 2 d x = lim b - 1 x 1 b = 0 + 1 = 1

Passo 4

E podemos aproveitar que o cosseno é limitado:

- 1 cos x 1

cos x 1

cos x x 2 1 x 2

E como 1 1 x 2 d x é convergente, podemos afirmar que 1 cos x x 2 d x também é convergente.

Passo 5

Estamos quase lá! Lembra desse teorema?

1 f x d x   é   c o n v e r g e n t e   1 f x d x   é   c o n v e r g e n t e

E temos que cos x x 2 = cos x x 2   . Pronto, agora é só partir pro abraço! :D

Como 1 cos x x 2 d x é convergente, pelo teorema aí de cima 1 cos x x 2 d x também é.

Passo 6

Recapitulando:

1 sen x x d x = cos 1 - 1 cos x x 2 d x

Sendo que 1 cos x x 2 d x converge.

Portanto, 1 sen x x d x também converge.

Resposta

A integral converge.

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